Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3916
2017-07-22 
Определить ускорение, с которым движется брусок, помещенный на горизонтальную поверхность, под действием приложенных к нему сил $F_{1} = 20 Н$ и $F_{2} = 10 H, \alpha = 45^{ \circ}$ и $\beta = 30^{ \circ}$. Коэффициент трения бруска о плоскость $\mu = 0,2$; масса бруска: а) $m = 2 кг$; б) $m = 10 кг$; в) $m = 1 кг$. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Из условия задачи следует, что начальная скорость бруска $\vec{v}_{0} = 0$. Возможные состояния тела: тело скользит по поверхности (влево или вправо), тело покоится, тело отрывается от поверхности и движется прямолинейно под углом к горизонту. Проверим возможность реализации каждого из сценариев во всех рассматриваемых случаях. Для этого зададим систему координат (см. рису нок) и найдем результирующую силу $F_{рез}$. действующую вдоль оси OY:
$F_{рез} = - mg + F_{1} \in \alpha + F_{2} \sin \beta$.
Для случаев а) и б) $F_{рез} < 0$, следовательно, тело не отрывается от поверхности. Для случая в) $F_{рез} \approx 5,5 Н > 0$, поэтому тело отрывается от поверхности.
Для случаев а) и б) рассмотрим результат действия сил вдоль горизонтальной оси. Пусть сила трения $\vec{F}_{рез}$ направлена по оси ОХ, т.е. ускорение $a$ направлено против оси ОХ. Уравнения динамики в проекциях на оси ОХ и OY и уравнение закона Кулона — Амон-тона запишутся следующим образом:
$\begin{cases} OX: F_{тр} + F_{1} \cos \alpha - F_{2} \cos \beta = ma_{x}; \\ OY: N + F_{1} \sin \alpha + F_{2} \sin \beta - mg = 0; \\ F_{тр} = \mu N. \end{cases}$
Отсюда $a_{x} = \frac{ \mu (mg - F_{1} \sin \alpha - F_{2} \sin \beta) + F_{1} \cos \alpha - F_{2} \cos \beta}{m}$.
Подстановка численных значений параметров дает:
а) $a_{x} \approx 2,7 м/с^{2}$.
б) $a_{x} \approx 2,2 м/с^{2}$,
т.е. получили результат, противоречащий сделанному предположению ($a_{x} < 0$). Пусть теперь сила трения $\vec{F}_{тр}$ направлена против оси ОХ. т.е. ускорение $\vec{a}$ направлено по оси ОХ($a_{x} > 0$). Соответствующая система уравнений, описывающих движение тела:
$\begin{cases} OX: - F_{тр} + F_{1} \cos \alpha - F_{2} \cos \beta = ma_{x}; \\ OY: N + F_{1} \sin \alpha + F_{2} \sin \beta - mg = 0; \\ F_{тр} = \mu N \end{cases}$
Откуда $a_{x} = \frac{ \mu ( - mg + F_{1} \sin \alpha + F_{2} \sin \beta) + F_{1} \cos \alpha - F_{2} - \cos \beta}{m}$.
Для случаев:
а) $a_{x} \approx 2,9 м/с^{2} > 0$ — результат не противоречит сделанному предположению:
б) $a_{x} \approx - 1,1 м/с^{2} < 0$ — результат противоречит сделанному предположению.
Таким образом, в случае а) тело будет двигаться в направлении оси ОХ с ускорением $a_{x} \approx 2,9 м/с^{2}$, а в случае б) тело не может скользит ни вдоль оси ОХ, ни против нее, следовательно, оно покоится. В случае в) система уравнений в проекциях на оси ОХ и OY выглядит следующим образом:
$\begin{cases} OX: F_{1} \cos \alpha - F_{2} \cos \beta = ma_{x}; \\ OY: F_{1} \sin \alpha + F_{2} \sin \beta - mg = ma_{y}. \end{cases}$
Следовательно, оторвавшись от поверхности, тело будет двигаться прямолинейно с ускорением $a = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \approx 10,5 м/с^{2}$ под углом $\phi = arctg \frac{a_{y}}{a_{x}} \approx 60^{ \circ}$ к линии горизонта.
Определить ускорение, с которым движется брусок, помещенный на горизонтальную поверхность, под действием приложенных к нему сил $F_{1} = 20 Н$ и $F_{2} = 10 H, \alpha = 45^{ \circ}$ и $\beta = 30^{ \circ}$. Коэффициент трения бруска о плоскость $\mu = 0,2$; масса бруска: а) $m = 2 кг$; б) $m = 10 кг$; в) $m = 1 кг$. Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Из условия задачи следует, что начальная скорость бруска $\vec{v}_{0} = 0$. Возможные состояния тела: тело скользит по поверхности (влево или вправо), тело покоится, тело отрывается от поверхности и движется прямолинейно под углом к горизонту. Проверим возможность реализации каждого из сценариев во всех рассматриваемых случаях. Для этого зададим систему координат (см. рису нок) и найдем результирующую силу $F_{рез}$. действующую вдоль оси OY:
$F_{рез} = - mg + F_{1} \in \alpha + F_{2} \sin \beta$.
Для случаев а) и б) $F_{рез} < 0$, следовательно, тело не отрывается от поверхности. Для случая в) $F_{рез} \approx 5,5 Н > 0$, поэтому тело отрывается от поверхности.
Для случаев а) и б) рассмотрим результат действия сил вдоль горизонтальной оси. Пусть сила трения $\vec{F}_{рез}$ направлена по оси ОХ, т.е. ускорение $a$ направлено против оси ОХ. Уравнения динамики в проекциях на оси ОХ и OY и уравнение закона Кулона — Амон-тона запишутся следующим образом:
$\begin{cases} OX: F_{тр} + F_{1} \cos \alpha - F_{2} \cos \beta = ma_{x}; \\ OY: N + F_{1} \sin \alpha + F_{2} \sin \beta - mg = 0; \\ F_{тр} = \mu N. \end{cases}$
Отсюда $a_{x} = \frac{ \mu (mg - F_{1} \sin \alpha - F_{2} \sin \beta) + F_{1} \cos \alpha - F_{2} \cos \beta}{m}$.
Подстановка численных значений параметров дает:
а) $a_{x} \approx 2,7 м/с^{2}$.
б) $a_{x} \approx 2,2 м/с^{2}$,
т.е. получили результат, противоречащий сделанному предположению ($a_{x} < 0$). Пусть теперь сила трения $\vec{F}_{тр}$ направлена против оси ОХ. т.е. ускорение $\vec{a}$ направлено по оси ОХ($a_{x} > 0$). Соответствующая система уравнений, описывающих движение тела:
$\begin{cases} OX: - F_{тр} + F_{1} \cos \alpha - F_{2} \cos \beta = ma_{x}; \\ OY: N + F_{1} \sin \alpha + F_{2} \sin \beta - mg = 0; \\ F_{тр} = \mu N \end{cases}$
Откуда $a_{x} = \frac{ \mu ( - mg + F_{1} \sin \alpha + F_{2} \sin \beta) + F_{1} \cos \alpha - F_{2} - \cos \beta}{m}$.
Для случаев:
а) $a_{x} \approx 2,9 м/с^{2} > 0$ — результат не противоречит сделанному предположению:
б) $a_{x} \approx - 1,1 м/с^{2} < 0$ — результат противоречит сделанному предположению.
Таким образом, в случае а) тело будет двигаться в направлении оси ОХ с ускорением $a_{x} \approx 2,9 м/с^{2}$, а в случае б) тело не может скользит ни вдоль оси ОХ, ни против нее, следовательно, оно покоится. В случае в) система уравнений в проекциях на оси ОХ и OY выглядит следующим образом:
$\begin{cases} OX: F_{1} \cos \alpha - F_{2} \cos \beta = ma_{x}; \\ OY: F_{1} \sin \alpha + F_{2} \sin \beta - mg = ma_{y}. \end{cases}$
Следовательно, оторвавшись от поверхности, тело будет двигаться прямолинейно с ускорением $a = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} \approx 10,5 м/с^{2}$ под углом $\phi = arctg \frac{a_{y}}{a_{x}} \approx 60^{ \circ}$ к линии горизонта.
