Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3913
2017-07-22 
Брусок массы $m = 1 кг$ равномерно втаскивают за нить вверх по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с горизонтом. Коэффициент трения $\mu = 0,8$. Найдите угол $\beta$, который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы натяжение нити было наименьшим. Чему оно равно?
Решение:
Систему координат выберем так, как показано на рисунке.
Основное уравнение динамики: $m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{T} + \vec{N} + \vec{f}_{тр}$. В проекциях на оси координат (движение равномерное, $a = 0$):
$OX: 0 = T \cos \beta - f_{тр} - mg \sin \alpha$.
$OY: 0 = N + T \sin \beta - mg \cos \alpha$.
Кроме того, $f_{тр} = \mu N$. Отсюда
$T = \frac{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}{ \cos \beta + \mu \sin \beta} mg$.
Положим $\mu = ctg \gamma$.
Поделим и домножим числитель и знаменатель этого выражения на $\sqrt{1 + \mu^{2}}$. Тогда
$T = mg \frac{( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{ \sqrt{1 + \mu^{2}} \cdot \sin ( \gamma + \beta)}$.
Натяжение нити $T$ будет наименьшим, если $\sin ( \gamma + \beta)$ примет наибольшее значение, т.е.
$\beta_{min} = \frac{ \pi}{2} - \gamma$
или
$\sin \beta_{min} = \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}} \cong 39^{ \circ}$.
При этом $T_{min} = mg \frac{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}} \cong 9.3 Н$.
Брусок массы $m = 1 кг$ равномерно втаскивают за нить вверх по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с горизонтом. Коэффициент трения $\mu = 0,8$. Найдите угол $\beta$, который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы натяжение нити было наименьшим. Чему оно равно?
Решение:
Систему координат выберем так, как показано на рисунке.
Основное уравнение динамики: $m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{T} + \vec{N} + \vec{f}_{тр}$. В проекциях на оси координат (движение равномерное, $a = 0$):
$OX: 0 = T \cos \beta - f_{тр} - mg \sin \alpha$.
$OY: 0 = N + T \sin \beta - mg \cos \alpha$.
Кроме того, $f_{тр} = \mu N$. Отсюда
$T = \frac{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}{ \cos \beta + \mu \sin \beta} mg$.
Положим $\mu = ctg \gamma$.
Поделим и домножим числитель и знаменатель этого выражения на $\sqrt{1 + \mu^{2}}$. Тогда
$T = mg \frac{( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{ \sqrt{1 + \mu^{2}} \cdot \sin ( \gamma + \beta)}$.
Натяжение нити $T$ будет наименьшим, если $\sin ( \gamma + \beta)$ примет наибольшее значение, т.е.
$\beta_{min} = \frac{ \pi}{2} - \gamma$
или
$\sin \beta_{min} = \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}} \cong 39^{ \circ}$.
При этом $T_{min} = mg \frac{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}} \cong 9.3 Н$.
