Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3904
2017-07-22 
На горизонтальной поверхности, лежащей на глубине $R/2$ ниже уровня Земли, покоится полусфера радиуса $R$. С какой минимальной скоростью $v_{0}$, под каким углом а и с какого расстояния $S$ надо бросить с поверхности Земли камушек, чтобы он перелетел через полусферу, коснувшись ее в верхней точке?
Решение:
Касание будет единственным только в том случае, когда верхняя точка полусферы и верхняя точка траектории камня совпадут, т.е. вертикаль, проходящая через эту общую точку, будет осью симметрии и для полусферы, и для параболы, которая является траекторией камня.
Проектируем уравнения движения камня на координатные оси и получаем:
равномерное движение вдоль оси ОХ (см. рисунок) с постоянной скоростью $v_{X} = v_{OX} = v_{0} \cdot \cos \alpha$, описываемое уравнением $x = v_{OX}t = v_{0} \cos \alpha t$.
равнопеременное движение вдоль оси $OY$, описываемое уравнением $y = y_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2}}{2}$, со скоростью, меняющейся по закону $v_{Y} = v_{0} \sin \alpha - gt$.
В наивысшей точке подъема камня $v_{Y} = 0$, следовательно, время подъема камня до этой точки $t_{под} = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g}$, а высота этой точки над Землей $y = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{2g}$.
Если точкой касания является верхняя точка полусферы, то $Y = R/2$. Тогда $v_{0} = \frac{ \sqrt{gR}}{ \sin \alpha}$. С другой стороны, в верхней точке траектории камня нормальное ускорение камня $a_{n}$ равно ускорению свободного падения
$g = a_{n} = \frac{v^{2}}{R} = \frac{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha}{R} = g \cdot tg^{2} \alpha$.
В выражении для $a_{n}$ в качестве радиуса кривизны траектории камня взят радиус полусферы, так как только в этом Случае касание будет единственным при минимально возможной начальной скорости камня.
Из полученных соотношений следует, что угол бросания, при котором скорость камня будет минимальна, равен $\alpha_{min} = 45^{ \circ}$. Соответствующая минимальная скорость $v_{0}^{ min} = \sqrt{2gR}$, а минимальное расстояние $S_{min}$, с которого надо бросить камень, чтобы он перелетел через полусферу
$S_{min} = v_{0}^{min} \cos \alpha_{min} \cdot t_{под} = \frac{(v_{0}^{min})^{2}}{g} \sin \alpha_{min} \cdot \cos \alpha_{min} = R$.
На горизонтальной поверхности, лежащей на глубине $R/2$ ниже уровня Земли, покоится полусфера радиуса $R$. С какой минимальной скоростью $v_{0}$, под каким углом а и с какого расстояния $S$ надо бросить с поверхности Земли камушек, чтобы он перелетел через полусферу, коснувшись ее в верхней точке?
Решение:
Касание будет единственным только в том случае, когда верхняя точка полусферы и верхняя точка траектории камня совпадут, т.е. вертикаль, проходящая через эту общую точку, будет осью симметрии и для полусферы, и для параболы, которая является траекторией камня.
Проектируем уравнения движения камня на координатные оси и получаем:
равномерное движение вдоль оси ОХ (см. рисунок) с постоянной скоростью $v_{X} = v_{OX} = v_{0} \cdot \cos \alpha$, описываемое уравнением $x = v_{OX}t = v_{0} \cos \alpha t$.
равнопеременное движение вдоль оси $OY$, описываемое уравнением $y = y_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2}}{2}$, со скоростью, меняющейся по закону $v_{Y} = v_{0} \sin \alpha - gt$.
В наивысшей точке подъема камня $v_{Y} = 0$, следовательно, время подъема камня до этой точки $t_{под} = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g}$, а высота этой точки над Землей $y = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha}{2g}$.
Если точкой касания является верхняя точка полусферы, то $Y = R/2$. Тогда $v_{0} = \frac{ \sqrt{gR}}{ \sin \alpha}$. С другой стороны, в верхней точке траектории камня нормальное ускорение камня $a_{n}$ равно ускорению свободного падения
$g = a_{n} = \frac{v^{2}}{R} = \frac{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha}{R} = g \cdot tg^{2} \alpha$.
В выражении для $a_{n}$ в качестве радиуса кривизны траектории камня взят радиус полусферы, так как только в этом Случае касание будет единственным при минимально возможной начальной скорости камня.
Из полученных соотношений следует, что угол бросания, при котором скорость камня будет минимальна, равен $\alpha_{min} = 45^{ \circ}$. Соответствующая минимальная скорость $v_{0}^{ min} = \sqrt{2gR}$, а минимальное расстояние $S_{min}$, с которого надо бросить камень, чтобы он перелетел через полусферу
$S_{min} = v_{0}^{min} \cos \alpha_{min} \cdot t_{под} = \frac{(v_{0}^{min})^{2}}{g} \sin \alpha_{min} \cdot \cos \alpha_{min} = R$.
