Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3903
2017-07-22 
Точечное тело свободно падает на наклонную плоскость с некоторой высоты в точку А. С помощью горизонтальной полуплоскости ВС для него устроена «ловушка». При падении с какой высоты тело попадет в «ловушку» (проскочит между точками В и D)l Все столкновения, испытываемые телом — абсолютно упругие.
Рассмотрите два варианта задачи: 1) расстояние между полуплоскостью ВС и наклонной плоскостью BD = 1 м, AD = 4 м, угол наклона плоскости к линии горизонта $\alpha = 45^{ \circ}$; 2) расстояние между полуплоскостью ВС и наклонной плоскостью BD = 2 м, AD = 12 м, угол наклона плоскости к линии горизонта $\alpha = 45^{ \circ}$.
Решение:
Обозначим высоту, с которой падает тело $h$. Скорость тела в момент удара о наклонную плоскость равна $v = \sqrt{2gh}$. Так как удары абсолютно упругие, скорость тела после удара не изменится, а угол его вылета по отношению к наклонной плоскости будет равен $( \pi / 2 - \alpha)$.
Выберем систему координат, совместив начало координат с точкой падения тела на наклонную плоскость, а оси координат направим так, как показано на рисунке.
Тело будет двигаться вдоль оси X с ускорением $a_{X} = g \sin \alpha$ и начальной скоростью $v_{OX} = v \sin \alpha$, а вдоль оси Y с ускорением $a_{Y} = - g \cos \alpha$ и начальной скоростью $v_{OY} = v \cos \alpha$. Уравнения движения вдоль осей X и Y:
$y = v \cos \alpha \cdot t - g \cos \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2}; x = v \sin \alpha \cdot t + g \sin \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2}$.
При высотах падения тела $h$, меньших некоторой $h_{max}$, тело будет всегда попадать в «ловушку». Эту высоту можно найти, определив наибольшее удаление тела от наклонной плоскости $y_{max}$ и сравнив его с расстоянием $H$ от точки В до плоскости — $H = BD$. Чтобы узнать $y_{max}$, определим промежуток времени между двумя последовательными ударами тела о плоскость. Полагая $y = 0$, найдем время первых двух касаний тела с плоскостью $t_{1} = 0$ и $t_{2} = \frac{2v}{g}$, а также промежуток времени между ними $\Delta t = t_{2} - t_{1} = \frac{2v}{g}$. Этот промежуток неизменен между любыми последовательными соударениями тела с плоскостью, так как при абсолютно упругих столкновениях уравнения движения тела неизменны.
Дальше всего тело удалится от наклонной плоскости в момент времени $t = \frac{ \Delta t}{2} = \frac{v}{g}$ и это удаление составит:
$y_{max} = \frac{v^{2}}{2g} \cos \alpha = h \cos \alpha$.
Если $y_{max} < H$, т.е. $h < h_{max} = \frac{H}{ \cos \alpha} \approx 1,41 м$, то тело в любом случае будет захвачено ловушкой.
Если $h = h_{max} = \frac{H}{ \cos \alpha}$, т.е. $y_{max} = H$, то координаты точки максимального удаления тела от наклонной плоскости при первом отскоке ($x_{max}, y_{max}$) находятся вне ловушки (см. рисунок), так как
$x_{max} = x_{2} (t_{2} = v_{0}/g) -x_{1}(t_{1} = 0) = \frac{3v^{2}}{2g} \sin \alpha = 3h \sin \alpha = 3H tg \alpha < l = AD$.
(по условию задачи $H = 1 м, \alpha = 45^{ \circ}, AD = 4 м$). Поэтому у тела есть шанс захватиться «ловушкой» при первом отскоке и при $h > h_{max}$. Максимально возможная высота падения тела в этом случае $h_{гр}$ может быть найдена из условия прохождения траектории тела через точку В горизонтальной полуплоскости, т.е. координаты точки касания должны быть $B(l,H)$:
$\begin{cases} H = v \cos \alpha \cdot t - g \cos \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2}; \\ l = v \sin \alpha \cdot t + g \sin \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2}. \end{cases}$
Решая эти уравнения относительно $t$ и приравнивая их друг другу, после несложных преобразований найдем
$h_{гр} = \frac{H \left ( \frac{l}{H} + tg \alpha \right )^{2} }{8 \sin \alpha \left ( \frac{l}{H} - tg \alpha \right )}$.
Таким образом, в первом случае ($H =1 м, l = 4 м$) тело попадет в «ловушку», если высота падения будет меньше $h_{гр}$, т.е. $h < h_{гр} \approx 1,5 м$. Во втором случае тело попадет в «ловушку» при падении с высоты $h \leq 3,5 м$.
Точечное тело свободно падает на наклонную плоскость с некоторой высоты в точку А. С помощью горизонтальной полуплоскости ВС для него устроена «ловушка». При падении с какой высоты тело попадет в «ловушку» (проскочит между точками В и D)l Все столкновения, испытываемые телом — абсолютно упругие.
Рассмотрите два варианта задачи: 1) расстояние между полуплоскостью ВС и наклонной плоскостью BD = 1 м, AD = 4 м, угол наклона плоскости к линии горизонта $\alpha = 45^{ \circ}$; 2) расстояние между полуплоскостью ВС и наклонной плоскостью BD = 2 м, AD = 12 м, угол наклона плоскости к линии горизонта $\alpha = 45^{ \circ}$.
Решение:
Обозначим высоту, с которой падает тело $h$. Скорость тела в момент удара о наклонную плоскость равна $v = \sqrt{2gh}$. Так как удары абсолютно упругие, скорость тела после удара не изменится, а угол его вылета по отношению к наклонной плоскости будет равен $( \pi / 2 - \alpha)$.
Выберем систему координат, совместив начало координат с точкой падения тела на наклонную плоскость, а оси координат направим так, как показано на рисунке.
Тело будет двигаться вдоль оси X с ускорением $a_{X} = g \sin \alpha$ и начальной скоростью $v_{OX} = v \sin \alpha$, а вдоль оси Y с ускорением $a_{Y} = - g \cos \alpha$ и начальной скоростью $v_{OY} = v \cos \alpha$. Уравнения движения вдоль осей X и Y:
$y = v \cos \alpha \cdot t - g \cos \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2}; x = v \sin \alpha \cdot t + g \sin \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2}$.
При высотах падения тела $h$, меньших некоторой $h_{max}$, тело будет всегда попадать в «ловушку». Эту высоту можно найти, определив наибольшее удаление тела от наклонной плоскости $y_{max}$ и сравнив его с расстоянием $H$ от точки В до плоскости — $H = BD$. Чтобы узнать $y_{max}$, определим промежуток времени между двумя последовательными ударами тела о плоскость. Полагая $y = 0$, найдем время первых двух касаний тела с плоскостью $t_{1} = 0$ и $t_{2} = \frac{2v}{g}$, а также промежуток времени между ними $\Delta t = t_{2} - t_{1} = \frac{2v}{g}$. Этот промежуток неизменен между любыми последовательными соударениями тела с плоскостью, так как при абсолютно упругих столкновениях уравнения движения тела неизменны.
Дальше всего тело удалится от наклонной плоскости в момент времени $t = \frac{ \Delta t}{2} = \frac{v}{g}$ и это удаление составит:
$y_{max} = \frac{v^{2}}{2g} \cos \alpha = h \cos \alpha$.
Если $y_{max} < H$, т.е. $h < h_{max} = \frac{H}{ \cos \alpha} \approx 1,41 м$, то тело в любом случае будет захвачено ловушкой.
Если $h = h_{max} = \frac{H}{ \cos \alpha}$, т.е. $y_{max} = H$, то координаты точки максимального удаления тела от наклонной плоскости при первом отскоке ($x_{max}, y_{max}$) находятся вне ловушки (см. рисунок), так как
$x_{max} = x_{2} (t_{2} = v_{0}/g) -x_{1}(t_{1} = 0) = \frac{3v^{2}}{2g} \sin \alpha = 3h \sin \alpha = 3H tg \alpha < l = AD$.
(по условию задачи $H = 1 м, \alpha = 45^{ \circ}, AD = 4 м$). Поэтому у тела есть шанс захватиться «ловушкой» при первом отскоке и при $h > h_{max}$. Максимально возможная высота падения тела в этом случае $h_{гр}$ может быть найдена из условия прохождения траектории тела через точку В горизонтальной полуплоскости, т.е. координаты точки касания должны быть $B(l,H)$:
$\begin{cases} H = v \cos \alpha \cdot t - g \cos \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2}; \\ l = v \sin \alpha \cdot t + g \sin \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2}. \end{cases}$
Решая эти уравнения относительно $t$ и приравнивая их друг другу, после несложных преобразований найдем
$h_{гр} = \frac{H \left ( \frac{l}{H} + tg \alpha \right )^{2} }{8 \sin \alpha \left ( \frac{l}{H} - tg \alpha \right )}$.
Таким образом, в первом случае ($H =1 м, l = 4 м$) тело попадет в «ловушку», если высота падения будет меньше $h_{гр}$, т.е. $h < h_{гр} \approx 1,5 м$. Во втором случае тело попадет в «ловушку» при падении с высоты $h \leq 3,5 м$.
