Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3902
2017-07-22 
Тело брошено с поверхности Земли с начальной скоростью $\vec{v}_{0}$ под углом $\alpha$ к линии горизонта. Пренебрегая сопротивлением воздуха определить: а) длительность полета; б) дальность полета; в) максимальную высоту подъема над поверхностью Земли.
Решение:
Введем систему координат: начало координат совпадает с точкой «старта», ось OY направлена вертикально, ось ОХ — горизонтально (вдоль поверхности Земли), вектор $\vec{v}_{0}$ и координатные оси лежат в одной плоскости. Запишем в виде уравнения условие падения тела на поверхность Земли: в момент падения $y(t) = 0$. Тело движется с постоянным ускорением $\vec{a} = \vec{g}$, где $\vec{g}$ — ускорение свободного падения. Спроектируем уравнение движения
$\vec{r}(t) = \vec{r}_{0} + \vec{v}_{0} \cdot t + \vec{a} \cdot \frac{t^{2}}{2}$
на ось OY, получим $y(t) = v_{0} \cdot \sin \alpha t - g \frac{t^{2}}{2}$, далее решаем систему:
$\begin{cases} y = 0; \\ y = v_{0} \sin \alpha \cdot t - g \frac{t^{2}}{2}, \end{cases} \Rightarrow gt^{2} - 2v_{0} \sin \alpha \cdot t = 0, \Rightarrow t(gt - 2v_{0} \sin \alpha) = 0$.
Имеется два решения: $t_{1} = 0$ соответствует моменту «старта», $t_{2} = \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$ соответствует моменту падения и равно длительности полета.
Чтобы определить дальность полета спроектируем уравнение движения $\vec{r}(t) = \vec{r}_{0} + v_{0} \cdot t + \vec{a} \cdot \frac{t^{2}}{2}$ на ось ОХ получим $x(t) = v_{0} \cos \alpha \cdot t$, подставим в полученное уравнение время, соответствующее моменту падения
$x_{max} = \frac{2v_{0}^{2} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{g} = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin 2 \alpha}{g}$.
Далее запишем в виде уравнения условие прохождения телом верхней точки траектории: вектор скорости тела в этот момент направлен горизонтально, т.е. $v_{y} = 0$. Спроектируем уравнение движения $\vec{v}(t) = \vec{v}_{0} + \vec{a} \cdot t$ на ось OY. Получим $v_{y}(t) = v_{0} \cdot \sin \alpha - g \cdot t$. Далее решаем систему:
$\begin{cases} v_{y} = 0; \\ v_{y} = v_{0} \cdot \sin \alpha - g \cdot t, \Rightarrow \end{cases}$ время подъема до верхней точки траектории $t = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g}$ подставляем в уравнение для $y(t)$, получим $y_{max} = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin^{2} \alpha}{2g}$.
Тело брошено с поверхности Земли с начальной скоростью $\vec{v}_{0}$ под углом $\alpha$ к линии горизонта. Пренебрегая сопротивлением воздуха определить: а) длительность полета; б) дальность полета; в) максимальную высоту подъема над поверхностью Земли.
Решение:
Введем систему координат: начало координат совпадает с точкой «старта», ось OY направлена вертикально, ось ОХ — горизонтально (вдоль поверхности Земли), вектор $\vec{v}_{0}$ и координатные оси лежат в одной плоскости. Запишем в виде уравнения условие падения тела на поверхность Земли: в момент падения $y(t) = 0$. Тело движется с постоянным ускорением $\vec{a} = \vec{g}$, где $\vec{g}$ — ускорение свободного падения. Спроектируем уравнение движения
$\vec{r}(t) = \vec{r}_{0} + \vec{v}_{0} \cdot t + \vec{a} \cdot \frac{t^{2}}{2}$
на ось OY, получим $y(t) = v_{0} \cdot \sin \alpha t - g \frac{t^{2}}{2}$, далее решаем систему:
$\begin{cases} y = 0; \\ y = v_{0} \sin \alpha \cdot t - g \frac{t^{2}}{2}, \end{cases} \Rightarrow gt^{2} - 2v_{0} \sin \alpha \cdot t = 0, \Rightarrow t(gt - 2v_{0} \sin \alpha) = 0$.
Имеется два решения: $t_{1} = 0$ соответствует моменту «старта», $t_{2} = \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$ соответствует моменту падения и равно длительности полета.
Чтобы определить дальность полета спроектируем уравнение движения $\vec{r}(t) = \vec{r}_{0} + v_{0} \cdot t + \vec{a} \cdot \frac{t^{2}}{2}$ на ось ОХ получим $x(t) = v_{0} \cos \alpha \cdot t$, подставим в полученное уравнение время, соответствующее моменту падения
$x_{max} = \frac{2v_{0}^{2} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{g} = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin 2 \alpha}{g}$.
Далее запишем в виде уравнения условие прохождения телом верхней точки траектории: вектор скорости тела в этот момент направлен горизонтально, т.е. $v_{y} = 0$. Спроектируем уравнение движения $\vec{v}(t) = \vec{v}_{0} + \vec{a} \cdot t$ на ось OY. Получим $v_{y}(t) = v_{0} \cdot \sin \alpha - g \cdot t$. Далее решаем систему:
$\begin{cases} v_{y} = 0; \\ v_{y} = v_{0} \cdot \sin \alpha - g \cdot t, \Rightarrow \end{cases}$ время подъема до верхней точки траектории $t = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g}$ подставляем в уравнение для $y(t)$, получим $y_{max} = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin^{2} \alpha}{2g}$.
