2014-06-01
Как изменится освещенность изображения планеты, рассматриваемой в телескоп, объектив которого имеет диаметр $D = 80 мм$ и фокусное расстояние $F = 800 мм$, при замене окуляра с фокусным расстоянием $F_{1} = 50 мм$ на окуляр с фокусным расстоянием $F_{2} = 100 мм$ или на окуляр с фокусным расстоянием $F_{3} = 25 мм$? Диаметр зрачка глаза принять равным $\alpha_{0} = 5 мм$.
Решение:
Диаметр пучка, выходящего из окуляра телескопа, определяется формулой
$d=D \frac{F_{ок}}{F}$
где $F_{ок}$ - фокусное расстояние окуляра (рис.). При $F_{ок} = F_{1}= 50 мм$ получаем: $d_{2} = 5 мм$; при $F_{ox} = F_{2} = 100 мм$ имеем: $d_{2} = 10 мм$; наконец, при $F_{ок} = F_{3} = 25 мм$ диаметр пучка будет равен $d_{3} = 2,5 мм$.
В первом и третьем случаях в глаз попадает весь световой поток $\Phi_{0}$, поступающий в объектив, а во втором случае – лишь поток
$\Phi = \left ( \frac{d_{0}}{d} \right )^{2} = \frac{1}{4} \Phi_{0}$
Диаметр изображения планеты на сетчатке глаза равен $F_{гл} \cdot \alpha $ ( где $ F_{гл}$ - фокусное расстояние глаза и $\alpha$ угловой диаметр планеты при ее наблюдении в телескоп). Так как угловое увеличение телескопа $\Gamma = \frac{F_{об}}{F_{ок}}$, то угловой диаметр планеты в первом случае равен
$\alpha_{1}=\Gamma_{1} \alpha_{0}=10 \alpha_{0}$, во втором случае $\alpha_{2} = \Gamma_{2} \alpha_{0} = 8 \alpha_{0}$ и в третьем случае $\alpha_{3} = \Gamma_{3} \alpha_{0} = 32 \alpha_{0}$. Площади изображения планеты будут соответственно
равны:
$S_{1}=\frac{1}{4} \pi F^{2}_{гл} \alpha_{1}^{2}=64 \pi F^{2}_{гл} \alpha^{2}_{0}$,
$S_{2}=16 \pi F^{2}_{гл} \alpha_{0}^{2}$ и $S_{3}=256 \pi F^{2}_{гл}\alpha^{2}_{0}$.
Учитывая, что освещенность изображения
$E=\frac{\Phi}{S}$
(где $\Phi$ - световой поток, попадающий в глаз), имеем:
$\frac{E_{2}}{E_{1}}= \frac{\Phi_{2}}{\Phi_{1}} \frac{S_{1}}{S_{2}} = 1, \frac{E_{3}}{E_{1}}= \frac{\Phi_{3}}{\Phi_{1}} \frac{S_{1}}{S_{3}} = frac{1}{4}$