Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3836
2017-07-12 
Небольшое заряженное тело массы $m = 10^{-3} кг$, прикрепленное к нити длиной $l = 10 см$, может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Однородное магнитное поле индукции $B = 1 Тл$ перпендикулярно этой плоскости. При какой наименьшей скорости тела в нижней точке, оно сможет совершить полный оборот? Заряд тела $q = 10^{-5} Кл$.
Решение:
На тело действуют сила тяжести $\vec{F}_{T}$, сила Лоренца $\vec{F}_{л}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Чтобы тело сделало полный оборот, сила натяжения нити должна быть отличной от нуля во всех точках траектории. Только в единственной, наивысшей точке траектории, А она может стать равной нулю (см. рисунок). При этом скорость в нижней точке В будет минимальной, если в верхней точке траектории сила Лоренца и сила тяжести направлены в противоположные стороны. Спроектируем основной закон динамики для тела в точке А на направление OA:
$ma_{ц.с.} = mg - qv_{A}B + T_{A}$,
или учитывая, что $a_{ц.с.} = \frac{v_{A}^{2}}{l}, T_{A} = 0$
$m \frac{v_{A}^{2}}{l} = mg - qv_{A} B$.
Отсюда $v_{A} = \frac{qBl}{2m} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{4m^{2}g}{q^{2}B^{2}l}} - 1 \right )$.
Для определения минимальной скорости в точке B $v_{B}^{min}$ воспользуемся законом сохранения механической энергии. За нуль отсчета потенциальной энергии выберем положение точки В. В ней тело обладает только кинетической энергией $E_{кин}^{B} = \frac{m (v_{B}^{min})^{2}}{2}$, в точке А кинетической энергией $E_{кин}^{A} = \frac{mv_{A}^{2}}{2}$ и потенциальной $R_{пот}^{A} = 2mgl$.
Из закона сохранения энергии
$\frac{m (v_{B}^{min})^{2}}{2} = \frac{mv_{A}^{2}}{2} + 2mgl$
находим $( v_{B}^{min})^{2} = v_{A}^{2} + 4lg$ и, подставив сюда $v_{A}^{2}$,
$v_{B}^{min} = \sqrt{ 5gl + \frac{q^{2}B^{2}l^{2}}{2m^{2}} \left ( 1 - \sqrt{ 1 + \frac{4m^{2}g}{q^{2}B^{2}l}} \right ) } \approx 2,2 м/с$.
Небольшое заряженное тело массы $m = 10^{-3} кг$, прикрепленное к нити длиной $l = 10 см$, может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Однородное магнитное поле индукции $B = 1 Тл$ перпендикулярно этой плоскости. При какой наименьшей скорости тела в нижней точке, оно сможет совершить полный оборот? Заряд тела $q = 10^{-5} Кл$.
Решение:
На тело действуют сила тяжести $\vec{F}_{T}$, сила Лоренца $\vec{F}_{л}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Чтобы тело сделало полный оборот, сила натяжения нити должна быть отличной от нуля во всех точках траектории. Только в единственной, наивысшей точке траектории, А она может стать равной нулю (см. рисунок). При этом скорость в нижней точке В будет минимальной, если в верхней точке траектории сила Лоренца и сила тяжести направлены в противоположные стороны. Спроектируем основной закон динамики для тела в точке А на направление OA:
$ma_{ц.с.} = mg - qv_{A}B + T_{A}$,
или учитывая, что $a_{ц.с.} = \frac{v_{A}^{2}}{l}, T_{A} = 0$
$m \frac{v_{A}^{2}}{l} = mg - qv_{A} B$.
Отсюда $v_{A} = \frac{qBl}{2m} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{4m^{2}g}{q^{2}B^{2}l}} - 1 \right )$.
Для определения минимальной скорости в точке B $v_{B}^{min}$ воспользуемся законом сохранения механической энергии. За нуль отсчета потенциальной энергии выберем положение точки В. В ней тело обладает только кинетической энергией $E_{кин}^{B} = \frac{m (v_{B}^{min})^{2}}{2}$, в точке А кинетической энергией $E_{кин}^{A} = \frac{mv_{A}^{2}}{2}$ и потенциальной $R_{пот}^{A} = 2mgl$.
Из закона сохранения энергии
$\frac{m (v_{B}^{min})^{2}}{2} = \frac{mv_{A}^{2}}{2} + 2mgl$
находим $( v_{B}^{min})^{2} = v_{A}^{2} + 4lg$ и, подставив сюда $v_{A}^{2}$,
$v_{B}^{min} = \sqrt{ 5gl + \frac{q^{2}B^{2}l^{2}}{2m^{2}} \left ( 1 - \sqrt{ 1 + \frac{4m^{2}g}{q^{2}B^{2}l}} \right ) } \approx 2,2 м/с$.
