2014-06-01
Какую из палок легче удерживать вертикально в равновесии на пальце (рис.): короткую или длинную?
Решение:
Для того чтобы палка удерживалась в равновесии, нужно в случае ее отклонения
от положения равновесия, т. е. поворота на некоторый угол, успеть подвинуть палец так, чтобы она вновь оказалась в положении равновесия. Длинная палка будет отклоняться медленнее, чем короткая, так как ее центр тяжести лежит выше.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим, как зависит время падения легкого стержня с укрепленным на его конце тяжелым шаром от длины стержня.
Пусть палка повернулась на угол $\alpha$ (рис.). Центр тяжести палки опустился при этом на высоту
$h=l(1-\cos \alpha)$,
где $l$ - длина палки. По закону сохранении энергии
$\frac{mv^{2}}{2}=mgh$,
или
$\frac{mv^{2}}{2}= mg l (1 - \cos \alpha)$.
Отсюда получаем:
$\omega = \frac{v}{l} = \sqrt{\frac{2g(1-\cos \alpha)}{l}}$
т. е. угловая скорость $\omega$ палки обратно пропорциональна корню квадратному из длины палки. Значит, длинная палка будет падать дольше, чем короткая. Поэтому длинную палку удерживать в равновесии легче, чем короткую.