Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3817
2017-07-12 
Цепь, содержащую две лампы накаливания Л1 (220 В, 40 Вт) и Л2 (6 В, 3 Вт), включили в сеть при замкнутом ключе К, затем ключ разомкнули. В этом случае обе лампы горели нормально. Когда же эту цепь включили в сеть при разомкнутом ключе К, лампа Л2 сразу же перегорела. Почему?
Решение:
Удельное сопротивление проводников $\rho$ зависит от температуры по закону
$\rho = \rho_{0}(1 + \alpha t)$,
где $\rho_{0}$ — удельное сопротивление проводника при $0^{ \circ} С$, $t$ — температура в градусах Цельсия, $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления, величина которого для металлов в диапазоне температур $0 - 100^{ \circ} С$ порядка $(3 - 6) \cdot 10^{-3} град^{-1}$. Следовательно, и сопротивление самих нитей накаливания лампочек $R$ меняется по аналогичному закону
$R = \rho \frac{l}{S} = \rho_{0} \frac{l}{S} (1 + \alpha t)$,
где $l$ — длина нити, $S$ — площадь ее поперечного сечения. В итоге в холодном и нагретом состоянии нити накаливания электрических лампочек имеют заметно различающиеся сопротивления и, следовательно, выделяющуюся на них тепловую мощность.
Посчитаем тепловую мощность, выделяющуюся на Л2 при изначально разомкнутом ключе К и при ключе, который разомкнули, когда цепь была уже включена в сеть.
Обозначим $R_{1}^{x}, R_{1}^{ \Gamma}$ и $R_{2}^{x}, R_{2}^{ \Gamma}$ сопротивления нитей накала ламп Л1 и Л2, соответственно, в не включенном (холодном — индекс «х») и в работающем (горячем — индекс «г») состояниях. Пусть в соответствии с температурной зависимостью сопротивлений проводников эти сопротивления различаются в $n$ раз ($n > 1$). Например, сопротивление вольфрамовой нити накаливания увеличивается при прохождении по ней тока и, следовательно, при ее нагревании более, чем в 10 раз ($n > 10$). Тогда
$R_{1}^{x} = R_{1}^{ \Gamma} / n, R_{2}^{x} = R_{2}^{ \Gamma} / n$.
Сопротивления $R_{1}^{ \Gamma}$ и $R_{2}^{ \Gamma}$ вычисляются по параметрам ламп, приводимым на их цоколях: $R_{1}^{ \Gamma } = \frac{U_{1}^{2}}{P_{1}} = 1210 Ом, R_{2}^{ \Gamma} = \frac{U_{2}^{2}}{P_{2}} = 12 Ом$, т.е. $R_{1}^{ \Gamma} \gg R_{2}^{ \Gamma}$.
Ключ К вначале замкнут, затем размыкается. Ток в цепи, а следовательно, и через Л2, сразу же после размыкания ключа в соответствии с законом Ома для участка цепи
$I_{1} = \frac{U}{R_{1}^{ \Gamma} + R_{2}^{x}}$,
а выделяющаяся на Л2 тепловая мощность
$P_{1} = I_{1}^{2} R_{2}^{x} = \frac{U^{2}R_{2}^{ \Gamma} n}{(R_{1}^{ \Gamma} n + R_{2}^{ \Gamma})^{2}}$
Ключ К разомкнут с самого начала. В этом случае ток в цепи в момент включения ее в сеть
$I_{2} = \frac{U}{R_{1}^{x} + R_{2}^{x}} = \frac{Un}{R_{1}^{ \Gamma} + R_{2}^{ \Gamma}}$,
а выделяющаяся на Л2 тепловая мощность в этот момент
$P_{2} = I_{2}^{2} R_{2}^{x} = \frac{U^{2}R_{2}^{ \Gamma} n}{(R_{1}^{ \Gamma} + R_{2}^{ \Gamma})^{2}}$.
Так как $R_{2}^{ \Gamma} / R_{1}^{ \Gamma} \ll 1$, то
$P_{2}/P_{1} = \left ( \frac{nR_{1}^{ \Gamma} + R_{2}^{ \Gamma}}{R_{1}^{ \Gamma} + R_{2}^{ \Gamma}} \right )^{2} = \left ( \frac{n + R_{2}^{ \Gamma} / R_{1}^{ \Gamma}}{1 + R_{2}^{ \Gamma} / R_{1}^{ \Gamma}} \right )^{2} \approx n^{2} \gg 1$.
Как видим, при изначально разомкнутом ключе К тепловая мощность, выделяемая на Л2, во много раз больше мощности, выделяемой на ней при первоначально замкнутом ключе. Этим и объясняется возможность сгорания лампы Л2, когда цепь включается в сеть при разомкнутом ключе К.
Цепь, содержащую две лампы накаливания Л1 (220 В, 40 Вт) и Л2 (6 В, 3 Вт), включили в сеть при замкнутом ключе К, затем ключ разомкнули. В этом случае обе лампы горели нормально. Когда же эту цепь включили в сеть при разомкнутом ключе К, лампа Л2 сразу же перегорела. Почему?
Решение:
Удельное сопротивление проводников $\rho$ зависит от температуры по закону
$\rho = \rho_{0}(1 + \alpha t)$,
где $\rho_{0}$ — удельное сопротивление проводника при $0^{ \circ} С$, $t$ — температура в градусах Цельсия, $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления, величина которого для металлов в диапазоне температур $0 - 100^{ \circ} С$ порядка $(3 - 6) \cdot 10^{-3} град^{-1}$. Следовательно, и сопротивление самих нитей накаливания лампочек $R$ меняется по аналогичному закону
$R = \rho \frac{l}{S} = \rho_{0} \frac{l}{S} (1 + \alpha t)$,
где $l$ — длина нити, $S$ — площадь ее поперечного сечения. В итоге в холодном и нагретом состоянии нити накаливания электрических лампочек имеют заметно различающиеся сопротивления и, следовательно, выделяющуюся на них тепловую мощность.
Посчитаем тепловую мощность, выделяющуюся на Л2 при изначально разомкнутом ключе К и при ключе, который разомкнули, когда цепь была уже включена в сеть.
Обозначим $R_{1}^{x}, R_{1}^{ \Gamma}$ и $R_{2}^{x}, R_{2}^{ \Gamma}$ сопротивления нитей накала ламп Л1 и Л2, соответственно, в не включенном (холодном — индекс «х») и в работающем (горячем — индекс «г») состояниях. Пусть в соответствии с температурной зависимостью сопротивлений проводников эти сопротивления различаются в $n$ раз ($n > 1$). Например, сопротивление вольфрамовой нити накаливания увеличивается при прохождении по ней тока и, следовательно, при ее нагревании более, чем в 10 раз ($n > 10$). Тогда
$R_{1}^{x} = R_{1}^{ \Gamma} / n, R_{2}^{x} = R_{2}^{ \Gamma} / n$.
Сопротивления $R_{1}^{ \Gamma}$ и $R_{2}^{ \Gamma}$ вычисляются по параметрам ламп, приводимым на их цоколях: $R_{1}^{ \Gamma } = \frac{U_{1}^{2}}{P_{1}} = 1210 Ом, R_{2}^{ \Gamma} = \frac{U_{2}^{2}}{P_{2}} = 12 Ом$, т.е. $R_{1}^{ \Gamma} \gg R_{2}^{ \Gamma}$.
Ключ К вначале замкнут, затем размыкается. Ток в цепи, а следовательно, и через Л2, сразу же после размыкания ключа в соответствии с законом Ома для участка цепи
$I_{1} = \frac{U}{R_{1}^{ \Gamma} + R_{2}^{x}}$,
а выделяющаяся на Л2 тепловая мощность
$P_{1} = I_{1}^{2} R_{2}^{x} = \frac{U^{2}R_{2}^{ \Gamma} n}{(R_{1}^{ \Gamma} n + R_{2}^{ \Gamma})^{2}}$
Ключ К разомкнут с самого начала. В этом случае ток в цепи в момент включения ее в сеть
$I_{2} = \frac{U}{R_{1}^{x} + R_{2}^{x}} = \frac{Un}{R_{1}^{ \Gamma} + R_{2}^{ \Gamma}}$,
а выделяющаяся на Л2 тепловая мощность в этот момент
$P_{2} = I_{2}^{2} R_{2}^{x} = \frac{U^{2}R_{2}^{ \Gamma} n}{(R_{1}^{ \Gamma} + R_{2}^{ \Gamma})^{2}}$.
Так как $R_{2}^{ \Gamma} / R_{1}^{ \Gamma} \ll 1$, то
$P_{2}/P_{1} = \left ( \frac{nR_{1}^{ \Gamma} + R_{2}^{ \Gamma}}{R_{1}^{ \Gamma} + R_{2}^{ \Gamma}} \right )^{2} = \left ( \frac{n + R_{2}^{ \Gamma} / R_{1}^{ \Gamma}}{1 + R_{2}^{ \Gamma} / R_{1}^{ \Gamma}} \right )^{2} \approx n^{2} \gg 1$.
Как видим, при изначально разомкнутом ключе К тепловая мощность, выделяемая на Л2, во много раз больше мощности, выделяемой на ней при первоначально замкнутом ключе. Этим и объясняется возможность сгорания лампы Л2, когда цепь включается в сеть при разомкнутом ключе К.
