ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-07-12   
При включении двух неизвестных сопротивлений в сеть напряжением $U = 220 В$ один раз последовательно, а второй раз параллельно, они потребляют мощности $P_{1} = 16 Вт$ и $P_{2} = 100 Вт$ соответственно. Определите величину неизвестных сопротивлений. Сопротивление подводящих проводов пренебрежимо мало.


Решение:


Мощности, потребляемые последовательно и параллельно соединенными сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$, равны, соответственно,

$P_{1} = \frac{U^{2}}{R_{1} +R_{2}}, P_{2} = \frac{U^{2}(R_{1} + R_{2})}{R_{1}R_{2}}$.

Отсюда

$\begin{cases} R_{1}R_{2} = \frac{U^{4}}{P_{1}P_{2}}; \\ R_{1} + R_{2} = \frac{U^{2}}{P_{1}} \end{cases}$

В соответствии с теоремой Виета $R_{1}$ и $R_{2}$ будут корнями квадратного уравнения:

$R^{2} - \frac{U^{2}}{P_{1}} R + \frac{U^{4}}{P_{1}P_{2}} = 0$.

Решая это уравнение, находим

$R_{1} = \frac{U^{2}}{2P_{1}} \left ( 1 - \sqrt{ 1 - \frac{4P_{1}}{P_{2}}} \right ) = 605 Ом$,
$R_{2} = \frac{U^{2}}{2P_{1}} \left ( 1 + \sqrt{ 1 - \frac{4P_{1}}{P_{2}}} \right ) = 2420 Ом$.