Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3808
2017-07-12 
Какой заряд пройдет через конденсатор $C$ при переключении ключа К из положения А в положение В? Внутреннее сопротивление источников $r = 10 Ом, \epsilon = 50 В, R_{0} = R_{1} = 10 Ом, R_{2} = 20 Ом, R_{3} = 30 Ом, C = 10 мкФ$.
Решение:
Когда ключ находится в положении А исходная цепь может быть преобразована в цепь, показанную на рисунке а). Для этой цепи ток $i_{0}$, текущий через сопротивление $R_{0}$, равен
$i_{0} = \frac{ \epsilon}{ r + R_{0} + \frac{R_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}}$.
Падение напряжения $U_{23}$ на участке, включающем сопротивления $R_{2}$ и $R_{3}$:
$U_{23} = i_{0} \frac{R_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}} = \frac{ \epsilon R_{1} (R_{2} + R_{3})}{(r + R_{0})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1} (R_{2} + R_{3})}$.
Ток $i_{3}$, текущий через сопротивление $R_{3}$,
$i_{3} = \frac{U_{23}}{R_{2} + R_{3}} = \frac{ \epsilon R_{1}}{(r + R_{0}) (R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1} (R_{2} + R_{3})}$,
а падение напряжения на нем
$U_{3} = i_{3}R_{3} = \frac{ \epsilon R_{1} R_{3}}{(r + R_{0})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1}(R_{2} + R_{3})}$.
Так как $U_{3}$ равно разности потенциалов между обкладками конденсатора, то его заряд $q_{A}$, когда ключ находится в положении А, равен
$q_{A} = CU_{3} = \frac{ \epsilon CR_{1} R_{3}}{(r + R_{0}) (R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1}(R_{2} + R_{3})}$.
Когда ключ находится в положении В, исходная цепь эквивалентна цепи, показанной на рисунке б). Различие между цепями а) и б) заключается в том, что, во-первых, сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$ поменялись местами, и, во-вторых, к отрицательному полюсу источника теперь подключена другая обкладка конденсатора. Учитывая эти различия заряд $q_{B}$ конденсатора, когда ключ находится в положении В, может быть найден по формуле для заряда, когда ключ был в положении А. При этом нужно сделать замену $R_{1} \leftrightarrow R_{2}$. Тогда
$q_{B} = \frac{ \epsilon CR_{2}R_{3}}{(r + R_{0})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{2}(R_{1} + R_{3})}$.
Так как при переключении ключа А заряд пластин конденсатора поменялся на противоположный по знаку, то заряд $\Delta q$, прошедший через конденсатор $C$ будет равен сумме зарядов $q_{A}$ и $q_{B}$, т.е.
$\Delta q = q_{A} + q_{B} = \frac{(r + R_{0})(R_{1} + R_{2})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1} R_{2} (R_{1} + R_{2} + 2R_{3})}{[(r + R_{0})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1}(R_{2} + R_{3})]} \frac{1}{ [(r + R_{0})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{2}(R_{1} + R_{3})]} \approx 240 мкКл$.
Какой заряд пройдет через конденсатор $C$ при переключении ключа К из положения А в положение В? Внутреннее сопротивление источников $r = 10 Ом, \epsilon = 50 В, R_{0} = R_{1} = 10 Ом, R_{2} = 20 Ом, R_{3} = 30 Ом, C = 10 мкФ$.
Решение:
Когда ключ находится в положении А исходная цепь может быть преобразована в цепь, показанную на рисунке а). Для этой цепи ток $i_{0}$, текущий через сопротивление $R_{0}$, равен
$i_{0} = \frac{ \epsilon}{ r + R_{0} + \frac{R_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}}}$.
Падение напряжения $U_{23}$ на участке, включающем сопротивления $R_{2}$ и $R_{3}$:
$U_{23} = i_{0} \frac{R_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1} + R_{2} + R_{3}} = \frac{ \epsilon R_{1} (R_{2} + R_{3})}{(r + R_{0})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1} (R_{2} + R_{3})}$.
Ток $i_{3}$, текущий через сопротивление $R_{3}$,
$i_{3} = \frac{U_{23}}{R_{2} + R_{3}} = \frac{ \epsilon R_{1}}{(r + R_{0}) (R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1} (R_{2} + R_{3})}$,
а падение напряжения на нем
$U_{3} = i_{3}R_{3} = \frac{ \epsilon R_{1} R_{3}}{(r + R_{0})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1}(R_{2} + R_{3})}$.
Так как $U_{3}$ равно разности потенциалов между обкладками конденсатора, то его заряд $q_{A}$, когда ключ находится в положении А, равен
$q_{A} = CU_{3} = \frac{ \epsilon CR_{1} R_{3}}{(r + R_{0}) (R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1}(R_{2} + R_{3})}$.
Когда ключ находится в положении В, исходная цепь эквивалентна цепи, показанной на рисунке б). Различие между цепями а) и б) заключается в том, что, во-первых, сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$ поменялись местами, и, во-вторых, к отрицательному полюсу источника теперь подключена другая обкладка конденсатора. Учитывая эти различия заряд $q_{B}$ конденсатора, когда ключ находится в положении В, может быть найден по формуле для заряда, когда ключ был в положении А. При этом нужно сделать замену $R_{1} \leftrightarrow R_{2}$. Тогда
$q_{B} = \frac{ \epsilon CR_{2}R_{3}}{(r + R_{0})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{2}(R_{1} + R_{3})}$.
Так как при переключении ключа А заряд пластин конденсатора поменялся на противоположный по знаку, то заряд $\Delta q$, прошедший через конденсатор $C$ будет равен сумме зарядов $q_{A}$ и $q_{B}$, т.е.
$\Delta q = q_{A} + q_{B} = \frac{(r + R_{0})(R_{1} + R_{2})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1} R_{2} (R_{1} + R_{2} + 2R_{3})}{[(r + R_{0})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{1}(R_{2} + R_{3})]} \frac{1}{ [(r + R_{0})(R_{1} + R_{2} + R_{3}) + R_{2}(R_{1} + R_{3})]} \approx 240 мкКл$.
