Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 380
2014-06-01 
Два спутника движутся по одной круговой орбите на некотором расстоянии друг от
друга. На «догоняющем» спутнике на короткое время включают двигатель, сообщающий спутнику дополнительный импульс по касательной к траектории. Встретятся ли спутники после этого?
Решение:
Казалось бы, скорость спутника при включении двигателя должна возрасти. Однако
это не так. Скорость спутника уменьшается. Докажем это.
Обозначим через $R$ радиус орбиты спутника. Так как зависимость силы тяготения от расстояния между телами аналогична зависимости силы взаимодействия разноименных точечных зарядов, то по аналогии с электрическим полем для потенциальной энергии спутника можно записать
$W=-G \frac{Mm}{R}$
где $M$ - масса Земли и $m$ - масса спутника.
Кинетическая энергия спутника
$W_{к}= \frac{mv^{2}}{2}$
Так как центростремительное ускорение спутнику сообщает сила тяготения, то
$\frac{mv^{2}}{R}= G \frac{mM}{R^{2}}$.
Поэтому для кинетической энергии спутника получаем:
$W_{к}=\frac{mv^{2}}{2} = G \frac{Mm}{2R}$
Отсюда видно, что кинетическая энергия спутника вдвое меньше абсолютного значения потенциальной энергии. Полная же энергия спутника равна сумме
кинетической и потенциальной энергии:
$W= - G \frac{Mm}{R} + G \frac{Mm}{2R}= - G \frac{Mm}{2R} = - W_{к}$
После включения двигателя энергия спутника изменяется на величину работы $A$ двигателя и станет равной
$W^{\prime}= - G \frac{Mm}{2R^{\prime}} = - G \frac{Mm}{2R}+A$.
Из этого равенства видно, что
$G \frac{Mm}{2R^{\prime}} < G \frac{Mm}{2R}$,
т. е. что кинетическая энергия спутника уменьшается, а радиус орбиты возрастает:
$R^{\prime} > R$.
Скорость спутника уменьшится, и он перейдет на орбиту с большим средним радиусом. Следовательно, второй спутник после включения двигателя начнет отставать от первого.
Два спутника движутся по одной круговой орбите на некотором расстоянии друг от
друга. На «догоняющем» спутнике на короткое время включают двигатель, сообщающий спутнику дополнительный импульс по касательной к траектории. Встретятся ли спутники после этого?
Решение:
Казалось бы, скорость спутника при включении двигателя должна возрасти. Однако
это не так. Скорость спутника уменьшается. Докажем это.
Обозначим через $R$ радиус орбиты спутника. Так как зависимость силы тяготения от расстояния между телами аналогична зависимости силы взаимодействия разноименных точечных зарядов, то по аналогии с электрическим полем для потенциальной энергии спутника можно записать
$W=-G \frac{Mm}{R}$
где $M$ - масса Земли и $m$ - масса спутника.
Кинетическая энергия спутника
$W_{к}= \frac{mv^{2}}{2}$
Так как центростремительное ускорение спутнику сообщает сила тяготения, то
$\frac{mv^{2}}{R}= G \frac{mM}{R^{2}}$.
Поэтому для кинетической энергии спутника получаем:
$W_{к}=\frac{mv^{2}}{2} = G \frac{Mm}{2R}$
Отсюда видно, что кинетическая энергия спутника вдвое меньше абсолютного значения потенциальной энергии. Полная же энергия спутника равна сумме
кинетической и потенциальной энергии:
$W= - G \frac{Mm}{R} + G \frac{Mm}{2R}= - G \frac{Mm}{2R} = - W_{к}$
После включения двигателя энергия спутника изменяется на величину работы $A$ двигателя и станет равной
$W^{\prime}= - G \frac{Mm}{2R^{\prime}} = - G \frac{Mm}{2R}+A$.
Из этого равенства видно, что
$G \frac{Mm}{2R^{\prime}} < G \frac{Mm}{2R}$,
т. е. что кинетическая энергия спутника уменьшается, а радиус орбиты возрастает:
$R^{\prime} > R$.
Скорость спутника уменьшится, и он перейдет на орбиту с большим средним радиусом. Следовательно, второй спутник после включения двигателя начнет отставать от первого.
