Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3781
2017-07-12 
Две проводящие сферы радиусами $R_{1} = 10 см$ и $R_{2} = 20 см$, имеющие общий центр и заряженные разноименными, но одинаковыми по величине зарядами $q = 7,5 \cdot 10^{-8} Кл$, соединили проволокой. Какое количество теплоты при этом выделилось?
Решение:
Система из заряженных сфер обладает некоторой начальной энергией $W_{p}^{нач}$. После соединения сфер проволокой их заряд и энергия $W_{p}^{ кон}$ становятся равными нулю. Запасенная энергия выделяется в проволоке и в самих сферах в виде джоулева тепла, величина которого $Q$ в соответствии с законом сохранения энергии равна
$Q = - \Delta W_{p} = - (W_{p}^{кон} - W_{p}^{нач}) = W_{p}^{нач}$.
Учитывая, что исходные заряды сфер были одинаковыми по величины, но противоположными по знаку, энергию системы можно рассчитать как энергию заряженного сферического конденсатора. Энергия конденсатора любой формы дается выражением:
$W = \frac{qU}{2}$,
где $q$ — его заряд, $U$ — напряжение на обкладках. Эту формулу легко получить, если посчитать работу, которую необходимо совершить для того, чтобы зарядить конденсатор, перенося заряд малыми порциями с одной обкладки на другую. При этом нужно учитывать, что первая порция заряда переносится через нулевую разность потенциалов, а каждая следующая переносится через разность потенциалов $U = q/C$, пропорциональную уже перенесенному заряду.
Напряжение на обкладках конденсатора, равное разности потенциалов на поверхностях сфер $U = \phi_{1} - \phi_{2}$, посчитаем, воспользовавшись принципом суперпозиции. Будем для определенности считать заряд внутренней сферы положительным. Зависимость потенциала электрического поля, создаваемого зарядом каждой из сфер, как функции расстояния $r$ до центра сфер показана на рисунке.
Так как обе сферы — проводящие, то для внутренних их областей, т.е. для $r < R_{1}$ для внутренней сферы и для $r < R_{2}$ для внешней сферы, потенциал не будет зависеть от расстояния до центра сферы.
В соответствии с принципом суперпозиции потенциал точек поля, находящихся на поверхности внутренней сферы, равен
$\phi_{1} = k \frac{q}{R_{1}} - k \frac{q}{R_{2}}$,
а потенциал точек поля, находящихся на поверхности внешней сферы, равен
$\phi_{2} = k \frac{q}{R_{2}} - k \frac{q}{R_{2}} = 0$.
Следовательно,
$U = \phi_{1} - \phi_{2} = k \frac{q(R_{2} - R_{1})}{R_{1}R_{2}}$
и
$Q = \frac{kq^{2} (R_{2} - R_{1})}{2R_{1}R_{2}} = 1,3 \cdot 10^{-4} Дж$.
Две проводящие сферы радиусами $R_{1} = 10 см$ и $R_{2} = 20 см$, имеющие общий центр и заряженные разноименными, но одинаковыми по величине зарядами $q = 7,5 \cdot 10^{-8} Кл$, соединили проволокой. Какое количество теплоты при этом выделилось?
Решение:
Система из заряженных сфер обладает некоторой начальной энергией $W_{p}^{нач}$. После соединения сфер проволокой их заряд и энергия $W_{p}^{ кон}$ становятся равными нулю. Запасенная энергия выделяется в проволоке и в самих сферах в виде джоулева тепла, величина которого $Q$ в соответствии с законом сохранения энергии равна
$Q = - \Delta W_{p} = - (W_{p}^{кон} - W_{p}^{нач}) = W_{p}^{нач}$.
Учитывая, что исходные заряды сфер были одинаковыми по величины, но противоположными по знаку, энергию системы можно рассчитать как энергию заряженного сферического конденсатора. Энергия конденсатора любой формы дается выражением:
$W = \frac{qU}{2}$,
где $q$ — его заряд, $U$ — напряжение на обкладках. Эту формулу легко получить, если посчитать работу, которую необходимо совершить для того, чтобы зарядить конденсатор, перенося заряд малыми порциями с одной обкладки на другую. При этом нужно учитывать, что первая порция заряда переносится через нулевую разность потенциалов, а каждая следующая переносится через разность потенциалов $U = q/C$, пропорциональную уже перенесенному заряду.
Напряжение на обкладках конденсатора, равное разности потенциалов на поверхностях сфер $U = \phi_{1} - \phi_{2}$, посчитаем, воспользовавшись принципом суперпозиции. Будем для определенности считать заряд внутренней сферы положительным. Зависимость потенциала электрического поля, создаваемого зарядом каждой из сфер, как функции расстояния $r$ до центра сфер показана на рисунке.
Так как обе сферы — проводящие, то для внутренних их областей, т.е. для $r < R_{1}$ для внутренней сферы и для $r < R_{2}$ для внешней сферы, потенциал не будет зависеть от расстояния до центра сферы.
В соответствии с принципом суперпозиции потенциал точек поля, находящихся на поверхности внутренней сферы, равен
$\phi_{1} = k \frac{q}{R_{1}} - k \frac{q}{R_{2}}$,
а потенциал точек поля, находящихся на поверхности внешней сферы, равен
$\phi_{2} = k \frac{q}{R_{2}} - k \frac{q}{R_{2}} = 0$.
Следовательно,
$U = \phi_{1} - \phi_{2} = k \frac{q(R_{2} - R_{1})}{R_{1}R_{2}}$
и
$Q = \frac{kq^{2} (R_{2} - R_{1})}{2R_{1}R_{2}} = 1,3 \cdot 10^{-4} Дж$.
