Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3775
2017-07-12 
Центры двух неметаллических неподвижных сфер радиусом $R = 10 см$, по поверхности которых равномерно распределен одинаковый отрицательный заряд $q_{1} = 5 \cdot 10^{-7} Кл$, расположены на расстоянии $l = 35 см$ друг от друга. По линии центров в сферах сделаны небольшие отверстия. Вдоль этой линии движется положительно заряженная частица с зарядом $q_{2} = 7 \cdot 10^{-7} Кл$, имеющая в средней точке между сферами скорость, близкую к нулю. На какое максимальное расстояние она удалится от этой точки?
Решение:
В средней точке между сферами результирующая сила, действующая со стороны заряда сфер, равна нулю. Когда же частица сместится в сторону какой-либо из сфер, то она начнет втягиваться внутрь той сферы, к которой оказалась ближе. При этом движение частицы будет ускоренным, так как сила, втягивающая частицу в сферу, растет по мере приближения к ней частицы, а сила, действующая на частицу со стороны другой сферы и препятствующая ее втягиванию, уменьшается. Когда частица окажется внутри сферы, на нее перестает действовать втягивающая сила со стороны заряда этой сферы и поле, создаваемое зарядом другой сферы, начнет тормозить частицу. В результате торможения частица остановится. Максимальное расстояние х, на которое частица удалится от средней точки между сферами, будет зависеть от того, где находится точка остановки: внутри самой сферы, или вне ее. Допустим, что точка остановки частицы находится внутри сферы. Тогда закон сохранения энергии для двух положений частицы — начального (в средней точке) и конечного в точке остановке, запишется как
$E_{ki} + U_{1} + U_{2} = U_{1}^{ \prime} + U_{2} + E_{kf}$,
или
$\frac{mv_{i}^{2}}{2} - k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2} - k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2} = - k \frac{q_{1}q_{2}}{R} - k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2 + x} + \frac{mv_{f}^{2}}{2}$.
Здесь $E_{ki} = \frac{mv_{i}^{2}}{2}$ и $E_{kf} = \frac{mv_{f}^{2}}{2}$ - кинетические энергии частицы соответственно в средней точке и в точке остановки, $U_{1} = - k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2}$ и $U_{2} = -k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2}$ - потенциальные энергии взаимодействия заряда частицы и сфер 1 и 2 в средней точке между ними, $U_{1}^{ \prime} = - k \frac{q_{1}q_{2}}{R}$ и $U_{2}^{ \prime} = -k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2 + x}$ - потенциальные энергии взаимодействия заряда частицы и сфер в точке остановки. Так как $v_{i} \approx 0$ по условию задачи, и $v_{f} = 0$ (частица остановилась), то закон сохранения энергии примет вид:
$\frac{1}{17,5} + \frac{1}{17,5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{17,5 + x}$.
Отсюда $x = 52,5 см$. Точка, соответствующая этому удалению от средней точки лежит вне пределов сферы, что противоречит сделанному предположению. Поэтому закон сохранения энергии нужно записать, взяв в нем потенциальную энергию взаимодействия частицы и сфер в точке остановки, находящейся за пределами сферы. Если $y$ — расстояние от точки остановки до поверхности сферы с внешней по отношению к средней точке стороны, то
$\frac{1}{17,5} + \frac{1}{17,5} = \frac{1}{45 + y} + \frac{1}{10 + y}$.
Решение этого уравнения дает $y \approx 0,75$. Следовательно, максимальное расстояние $L$, на которое заряженная частица удалится от средней точки, равно $L = \frac{l}{2} + R + y \approx 28 см$.
Центры двух неметаллических неподвижных сфер радиусом $R = 10 см$, по поверхности которых равномерно распределен одинаковый отрицательный заряд $q_{1} = 5 \cdot 10^{-7} Кл$, расположены на расстоянии $l = 35 см$ друг от друга. По линии центров в сферах сделаны небольшие отверстия. Вдоль этой линии движется положительно заряженная частица с зарядом $q_{2} = 7 \cdot 10^{-7} Кл$, имеющая в средней точке между сферами скорость, близкую к нулю. На какое максимальное расстояние она удалится от этой точки?
Решение:
В средней точке между сферами результирующая сила, действующая со стороны заряда сфер, равна нулю. Когда же частица сместится в сторону какой-либо из сфер, то она начнет втягиваться внутрь той сферы, к которой оказалась ближе. При этом движение частицы будет ускоренным, так как сила, втягивающая частицу в сферу, растет по мере приближения к ней частицы, а сила, действующая на частицу со стороны другой сферы и препятствующая ее втягиванию, уменьшается. Когда частица окажется внутри сферы, на нее перестает действовать втягивающая сила со стороны заряда этой сферы и поле, создаваемое зарядом другой сферы, начнет тормозить частицу. В результате торможения частица остановится. Максимальное расстояние х, на которое частица удалится от средней точки между сферами, будет зависеть от того, где находится точка остановки: внутри самой сферы, или вне ее. Допустим, что точка остановки частицы находится внутри сферы. Тогда закон сохранения энергии для двух положений частицы — начального (в средней точке) и конечного в точке остановке, запишется как
$E_{ki} + U_{1} + U_{2} = U_{1}^{ \prime} + U_{2} + E_{kf}$,
или
$\frac{mv_{i}^{2}}{2} - k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2} - k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2} = - k \frac{q_{1}q_{2}}{R} - k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2 + x} + \frac{mv_{f}^{2}}{2}$.
Здесь $E_{ki} = \frac{mv_{i}^{2}}{2}$ и $E_{kf} = \frac{mv_{f}^{2}}{2}$ - кинетические энергии частицы соответственно в средней точке и в точке остановки, $U_{1} = - k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2}$ и $U_{2} = -k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2}$ - потенциальные энергии взаимодействия заряда частицы и сфер 1 и 2 в средней точке между ними, $U_{1}^{ \prime} = - k \frac{q_{1}q_{2}}{R}$ и $U_{2}^{ \prime} = -k \frac{q_{1}q_{2}}{l/2 + x}$ - потенциальные энергии взаимодействия заряда частицы и сфер в точке остановки. Так как $v_{i} \approx 0$ по условию задачи, и $v_{f} = 0$ (частица остановилась), то закон сохранения энергии примет вид:
$\frac{1}{17,5} + \frac{1}{17,5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{17,5 + x}$.
Отсюда $x = 52,5 см$. Точка, соответствующая этому удалению от средней точки лежит вне пределов сферы, что противоречит сделанному предположению. Поэтому закон сохранения энергии нужно записать, взяв в нем потенциальную энергию взаимодействия частицы и сфер в точке остановки, находящейся за пределами сферы. Если $y$ — расстояние от точки остановки до поверхности сферы с внешней по отношению к средней точке стороны, то
$\frac{1}{17,5} + \frac{1}{17,5} = \frac{1}{45 + y} + \frac{1}{10 + y}$.
Решение этого уравнения дает $y \approx 0,75$. Следовательно, максимальное расстояние $L$, на которое заряженная частица удалится от средней точки, равно $L = \frac{l}{2} + R + y \approx 28 см$.
