Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3773
2017-07-12 
Металлический шарик радиусом $R$ с электрическим зарядом $- q_{0}$ помещен внутрь тонкостенной металлической сферы радиуса $2R$, которой сообщен заряд $+ \sqrt{2} q_{0}$. Центры шарика и сферы совпадают. Шарик и сферу соединили проволочкой ничтожной емкости и затем разъединили. Как изменилась потенциальная энергия системы?
Решение:
Потенциальная энергия системы складывается из собственных энергий шарика и сферы и энергии их взаимодействия.
Собственная энергия любого заряженного тела равна работе внешних сил, которая совершается при сообщении телу электрического заряда. Для уединенного тела сферической формы, каковыми являются и шарик и его оболочка, эту работу можно посчитать как
$A = k \frac{q^{2}}{2r}$,
где $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$, $\epsilon_{0}$ — электрическая постоянная, $q$ — заряд тела, $r$ — его радиус. Поэтому собственные энергии шарика $W_{Ш}m$ и сферической оболочки $W_{сф}$ будут соответственно равны
$W_{ш} = k \frac{q_{0}^{2}}{2R}$,
$W_{сф} = k \frac{q_{0}^{2}}{2R}$.
Поскольку центры шарика и сферы совпадают, энергию их взаимодействия $W_{B3}$ можно найти как
$W_{вз} = - q_{0} \phi_{2}$,
где - $q_{0}$ — заряд шарика, $\phi_{2}$ — потенциал, создаваемый поверхностным зарядом сферы $q_{2}$ в месте расположения шарика. Этот потенциал, как известно, равняется потенциалу поверхности самой сферы и может быть вычислен с помощью принципа суперпозиции полей:
$\phi_{2} = k \frac{( \sqrt{2} - 1)q_{0}}{2R}$.
В итоге
$W_{вз} = \frac{- k q_{0}^{2}}{2R} ( \sqrt{2} - 1)$.
Полная потенциальная энергия $W_{H}$ начального состояния системы
$W_{Н} = W_{Ш} + W_{С} + W_{B3} = \frac{(3 - \sqrt{2})}{2} \frac{kq_{0}^{2}}{R}$.
После соединения проволочкой оболочки и шара заряд шара перетекает на оболочку и новый заряд оболочки $q_{2}^{ \prime}$ становится равным:
$q_{2}^{ \prime} = ( \sqrt{2} - 1 ) q_{0}$.
После разъединения шара и оболочки потенциальная энергия системы $W_{КОН}$ будет определяться собственной энергией заряда, находящегося на оболочке, т.е.
$W_{K0H} = \frac{k( q_{2}^{ \prime})^{2}}{2r_{2}} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{4} \frac{kq_{0}^{2}}{R}$.
Таким образом, потенциальная энергия системы уменьшилась в
$\eta = \frac{W_{нач}}{W_{кон}} = 2(5 + 3 \sqrt{2}) \approx 18,5 раз$.
Металлический шарик радиусом $R$ с электрическим зарядом $- q_{0}$ помещен внутрь тонкостенной металлической сферы радиуса $2R$, которой сообщен заряд $+ \sqrt{2} q_{0}$. Центры шарика и сферы совпадают. Шарик и сферу соединили проволочкой ничтожной емкости и затем разъединили. Как изменилась потенциальная энергия системы?
Решение:
Потенциальная энергия системы складывается из собственных энергий шарика и сферы и энергии их взаимодействия.
Собственная энергия любого заряженного тела равна работе внешних сил, которая совершается при сообщении телу электрического заряда. Для уединенного тела сферической формы, каковыми являются и шарик и его оболочка, эту работу можно посчитать как
$A = k \frac{q^{2}}{2r}$,
где $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$, $\epsilon_{0}$ — электрическая постоянная, $q$ — заряд тела, $r$ — его радиус. Поэтому собственные энергии шарика $W_{Ш}m$ и сферической оболочки $W_{сф}$ будут соответственно равны
$W_{ш} = k \frac{q_{0}^{2}}{2R}$,
$W_{сф} = k \frac{q_{0}^{2}}{2R}$.
Поскольку центры шарика и сферы совпадают, энергию их взаимодействия $W_{B3}$ можно найти как
$W_{вз} = - q_{0} \phi_{2}$,
где - $q_{0}$ — заряд шарика, $\phi_{2}$ — потенциал, создаваемый поверхностным зарядом сферы $q_{2}$ в месте расположения шарика. Этот потенциал, как известно, равняется потенциалу поверхности самой сферы и может быть вычислен с помощью принципа суперпозиции полей:
$\phi_{2} = k \frac{( \sqrt{2} - 1)q_{0}}{2R}$.
В итоге
$W_{вз} = \frac{- k q_{0}^{2}}{2R} ( \sqrt{2} - 1)$.
Полная потенциальная энергия $W_{H}$ начального состояния системы
$W_{Н} = W_{Ш} + W_{С} + W_{B3} = \frac{(3 - \sqrt{2})}{2} \frac{kq_{0}^{2}}{R}$.
После соединения проволочкой оболочки и шара заряд шара перетекает на оболочку и новый заряд оболочки $q_{2}^{ \prime}$ становится равным:
$q_{2}^{ \prime} = ( \sqrt{2} - 1 ) q_{0}$.
После разъединения шара и оболочки потенциальная энергия системы $W_{КОН}$ будет определяться собственной энергией заряда, находящегося на оболочке, т.е.
$W_{K0H} = \frac{k( q_{2}^{ \prime})^{2}}{2r_{2}} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{4} \frac{kq_{0}^{2}}{R}$.
Таким образом, потенциальная энергия системы уменьшилась в
$\eta = \frac{W_{нач}}{W_{кон}} = 2(5 + 3 \sqrt{2}) \approx 18,5 раз$.
