Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3771
2017-07-12 
Два металлических шарика — один радиусом $R$ с электрическим зарядом $- q_{0}$ и другой радиусом $\sqrt{2} R$ с зарядом $+ 2 q_{0}$ — соединили проволочкой ничтожной емкости и затем разъединили. Расстояние между шариками $l \gg R$. Как изменилась потенциальная энергия системы?
Решение:
Электростатическая энергия системы включает в себя собственную энергию каждого из шариков и энергию их взаимодействия.
Собственная энергия заряженного шарика $W$ равна работе внешних сил, которая совершается при сообщении шарику заряда $q$ и равна $W_{i} = \frac{q_{i}^{2}}{2C_{i}}$ ($i = 1,2$ — номера шариков), $C_{i}$ — емкость шариков.
Поскольку заряд $q_{i}$, находящийся на шариках, связан с создаваемыми им потенциалом $\phi_{i}$ соотношением:
$\phi_{i} = \frac{q_{i}}{C_{i}} = \frac{q_{i}}{4 \pi \epsilon R_{i}}$,
то емкость металлических шариков равна $C_{i} = 4 \pi \epsilon_{0} R_{i}$, $\epsilon_{0}$ — электрическая постоянная. Поэтому собственная энергия $i$-го шарика $W_{i}$ радиуса $R_{i}$, имеющего заряд $q_{i}$, дается выражением:
$W_{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{i}^{2}}{4R_{i}}$.
Энергия взаимодействия заряженных шариков
$W_{вз} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{l}$.
Следовательно, до соединения шариков проволочкой потенциальная энергия системы $W_{нач}$ равнялась
$W_{нач} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}^{2}}{2R_{1}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{2}^{2}}{2R_{2}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{l} \approx \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{q_{1}^{2}}{R_{1}} + \frac{q_{2}^{2}}{R_{2}} \right ) = \frac{( 1 + 2 \sqrt{2})}{8 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{0}^{2}}{R}$.
В последней строке учтено, что, так как по условию задачи $l \gg R$, то энергией взаимодействия шариков можно пренебречь.
После соединения шариков проволокой их заряды перераспределяются до выравнивания потенциалов. При этом суммарный заряд шариков остается неизменным
$q_{1}^{ \prime} + q_{2}^{ \prime} = - q_{0} + 2q_{0} = q_{0}$.
Пусть установившийся потенциал шариков равен $\phi_{0}$. Тогда новые заряды шариков
$q_{1}^{ \prime} = 4 \pi \epsilon_{0} \phi_{0} R_{1}, q_{2}^{ \prime} = 4 \pi \epsilon_{0} \phi_{0} R_{2}$.
Используя условие сохранения полного заряда, находим
$\phi_{0} = \frac{q_{0}}{4 \pi \epsilon_{0} (R_{1} + R_{2})}$
и соответственно
$q_{1}^{ \prime} = q_{0} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} = q_{0} ( \sqrt{2} - 1)$,
$q_{2}^{ \prime} = q_{0} \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = q_{0} \sqrt{2} ( \sqrt{2} - 1)$.
После разъединения шариков потенциальная энергия системы $W_{кон}$ станет равной
$W_{кон} \approx \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0}} \left [ \frac{ ( q_{1}^{ \prime})^{2}}{R_{1}} + \frac{(q_{2}^{ \prime})^{2}}{R_{2}} \right ] = \frac{ ( \sqrt{2} - 1)}{8 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{0}^{2}}{R}$,
т.е. уменьшится в $\frac{W_{нач}}{W_{кон}} = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{ \sqrt{2} - 1} \approx 9,2$ раза.
Два металлических шарика — один радиусом $R$ с электрическим зарядом $- q_{0}$ и другой радиусом $\sqrt{2} R$ с зарядом $+ 2 q_{0}$ — соединили проволочкой ничтожной емкости и затем разъединили. Расстояние между шариками $l \gg R$. Как изменилась потенциальная энергия системы?
Решение:
Электростатическая энергия системы включает в себя собственную энергию каждого из шариков и энергию их взаимодействия.
Собственная энергия заряженного шарика $W$ равна работе внешних сил, которая совершается при сообщении шарику заряда $q$ и равна $W_{i} = \frac{q_{i}^{2}}{2C_{i}}$ ($i = 1,2$ — номера шариков), $C_{i}$ — емкость шариков.
Поскольку заряд $q_{i}$, находящийся на шариках, связан с создаваемыми им потенциалом $\phi_{i}$ соотношением:
$\phi_{i} = \frac{q_{i}}{C_{i}} = \frac{q_{i}}{4 \pi \epsilon R_{i}}$,
то емкость металлических шариков равна $C_{i} = 4 \pi \epsilon_{0} R_{i}$, $\epsilon_{0}$ — электрическая постоянная. Поэтому собственная энергия $i$-го шарика $W_{i}$ радиуса $R_{i}$, имеющего заряд $q_{i}$, дается выражением:
$W_{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{i}^{2}}{4R_{i}}$.
Энергия взаимодействия заряженных шариков
$W_{вз} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{l}$.
Следовательно, до соединения шариков проволочкой потенциальная энергия системы $W_{нач}$ равнялась
$W_{нач} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}^{2}}{2R_{1}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{2}^{2}}{2R_{2}} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{l} \approx \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{q_{1}^{2}}{R_{1}} + \frac{q_{2}^{2}}{R_{2}} \right ) = \frac{( 1 + 2 \sqrt{2})}{8 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{0}^{2}}{R}$.
В последней строке учтено, что, так как по условию задачи $l \gg R$, то энергией взаимодействия шариков можно пренебречь.
После соединения шариков проволокой их заряды перераспределяются до выравнивания потенциалов. При этом суммарный заряд шариков остается неизменным
$q_{1}^{ \prime} + q_{2}^{ \prime} = - q_{0} + 2q_{0} = q_{0}$.
Пусть установившийся потенциал шариков равен $\phi_{0}$. Тогда новые заряды шариков
$q_{1}^{ \prime} = 4 \pi \epsilon_{0} \phi_{0} R_{1}, q_{2}^{ \prime} = 4 \pi \epsilon_{0} \phi_{0} R_{2}$.
Используя условие сохранения полного заряда, находим
$\phi_{0} = \frac{q_{0}}{4 \pi \epsilon_{0} (R_{1} + R_{2})}$
и соответственно
$q_{1}^{ \prime} = q_{0} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} = q_{0} ( \sqrt{2} - 1)$,
$q_{2}^{ \prime} = q_{0} \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = q_{0} \sqrt{2} ( \sqrt{2} - 1)$.
После разъединения шариков потенциальная энергия системы $W_{кон}$ станет равной
$W_{кон} \approx \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0}} \left [ \frac{ ( q_{1}^{ \prime})^{2}}{R_{1}} + \frac{(q_{2}^{ \prime})^{2}}{R_{2}} \right ] = \frac{ ( \sqrt{2} - 1)}{8 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{0}^{2}}{R}$,
т.е. уменьшится в $\frac{W_{нач}}{W_{кон}} = \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{ \sqrt{2} - 1} \approx 9,2$ раза.
