Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3751
2017-07-12 
Предположим, что сила, действующая между двумя точечными зарядами, зависит от расстояния между ними, как $1/ r^{ \alpha}$. Как будет вести себя точечный заряд, помещенный внутрь (не обязательно в центр) равномерно заряженной по поверхности сферы. В начальный момент времени точечный заряд покоится. Рассмотреть случаи, когда а) $\alpha = \sqrt{5}$, б) $\alpha = \sqrt{7}$, в) $\alpha = \sqrt{2}$, г) $\alpha = \sqrt{3}$.
Решение:
Пусть заряд $q_{0}$ находится в некоторой точке А внутри сферы. Проведем диаметр сферы, проходящий через эту точку.
Ввиду симметрии распределения заряда по поверхности сферы относительно любого ее сечения, проходящего через этот диаметр, а в самом сечении-симметрии распределения заряда относительно диаметра, можно утверждать, что заряд $q_{0}$ может двигаться только вдоль этого диаметра. Рассмотрим два узких конуса внутри сферы с вершиной в точке А и с углом при вершине $\beta$, осью которых будет этот диаметр (см. рисунок) и сравним силы, с которыми заряды, находящиеся на соответствующих шаровых сегментах, будут действовать на точечный заряд $q_{0}$.
Величина зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$, находящихся на шаровых сегментах $q_{1} = S_{1} \cdot \sigma, q_{2} = S_{2} \cdot \sigma, \sigma$ — поверхностная плотность зарядов на сфере, $S_{1}$ и $S_{2}$ — площади шаровых сегментов. При малых углах $\beta$
$q_{1} \approx \frac{ \beta}{4 \pi} \cdot 4 \pi r_{1}^{2} \sigma = \beta r_{1}^{2} \sigma$,
$q_{2} \approx \frac{ \beta}{4 \pi} \cdot 4 \pi r_{2}^{2} \sigma = \beta r_{2}^{2} \sigma$,
$r_{1}$ и $r_{2}$ — расстояния от точки А до соответствующего сегмента сферы. При произвольных углах $\beta$ коэффициент пропорциональности между зарядом сегмента $q$ и расстоянием до него от точки А будет некоторой функцией угла при вершине конуса $f( \beta) = C( \beta)$, но одинаковой для обеих конусов, т.е.
$q_{1} = C( \beta) r_{1}^{2} \sigma$,
$q_{2} = C( \beta) r_{2}^{2} \sigma$.
Следовательно, на точечный заряд $q_{0}$, помещенный внутрь равномерно заряженной сферы, со стороны шаровых сегментов будут действовать силы, зависимость которых от расстояния $r$ и параметра $\alpha$ будет иметь вид
$F = k \sigma q_{0} \frac{r^{2}}{r^{ \alpha}} C( \beta) = k C ( \beta) \sigma \frac{q_{0}}{r^{ \alpha - 2}}$.
Возможны два варианта поведения точечного заряда.
I вариант. Заряды $q_{0}$ и поверхностный заряд сферы — разноименные. В этом случае $F$ — сила притяжения. Поэтому, если $\alpha > 2 (a = \sqrt{5}, \alpha = \sqrt{7})$, то для $r_{1} > r_{1} F_{2} < F_{1}$ и заряд упадет на ближний к нему участок поверхности сферы.
Если $\alpha < 2 ( \alpha = \sqrt{2} , \alpha = \sqrt{3} )$, то для $r_{2} > r_{1} F_{2} > F_{1}$ и первоначально покоившийся заряд будет двигаться ускоренно до центра сферы, а затем начнет замедляться и остановится с другой стороны от центра сферы на расстоянии от поверхности, равном $r_{1}$. После остановки заряд $q_{0}$ вновь начнет двигаться, но уже в обратном направлении, т.е. заряд $q_{0}$ будет совершать колебательное движение.
II вариант. Заряды $q_{0}$ и заряд сферы — одноименные. В этом случае $F$ — сила отталкивания.
При $\alpha = \sqrt{5}$ и $\alpha = \sqrt{7}$ заряд будет совершать колебательное движение.
При $\alpha = \sqrt{2}$ и $\alpha = \sqrt{}$ заряд упадет на ближний к нему участок поверхности сферы.
Предположим, что сила, действующая между двумя точечными зарядами, зависит от расстояния между ними, как $1/ r^{ \alpha}$. Как будет вести себя точечный заряд, помещенный внутрь (не обязательно в центр) равномерно заряженной по поверхности сферы. В начальный момент времени точечный заряд покоится. Рассмотреть случаи, когда а) $\alpha = \sqrt{5}$, б) $\alpha = \sqrt{7}$, в) $\alpha = \sqrt{2}$, г) $\alpha = \sqrt{3}$.
Решение:
Пусть заряд $q_{0}$ находится в некоторой точке А внутри сферы. Проведем диаметр сферы, проходящий через эту точку.
Ввиду симметрии распределения заряда по поверхности сферы относительно любого ее сечения, проходящего через этот диаметр, а в самом сечении-симметрии распределения заряда относительно диаметра, можно утверждать, что заряд $q_{0}$ может двигаться только вдоль этого диаметра. Рассмотрим два узких конуса внутри сферы с вершиной в точке А и с углом при вершине $\beta$, осью которых будет этот диаметр (см. рисунок) и сравним силы, с которыми заряды, находящиеся на соответствующих шаровых сегментах, будут действовать на точечный заряд $q_{0}$.
Величина зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$, находящихся на шаровых сегментах $q_{1} = S_{1} \cdot \sigma, q_{2} = S_{2} \cdot \sigma, \sigma$ — поверхностная плотность зарядов на сфере, $S_{1}$ и $S_{2}$ — площади шаровых сегментов. При малых углах $\beta$
$q_{1} \approx \frac{ \beta}{4 \pi} \cdot 4 \pi r_{1}^{2} \sigma = \beta r_{1}^{2} \sigma$,
$q_{2} \approx \frac{ \beta}{4 \pi} \cdot 4 \pi r_{2}^{2} \sigma = \beta r_{2}^{2} \sigma$,
$r_{1}$ и $r_{2}$ — расстояния от точки А до соответствующего сегмента сферы. При произвольных углах $\beta$ коэффициент пропорциональности между зарядом сегмента $q$ и расстоянием до него от точки А будет некоторой функцией угла при вершине конуса $f( \beta) = C( \beta)$, но одинаковой для обеих конусов, т.е.
$q_{1} = C( \beta) r_{1}^{2} \sigma$,
$q_{2} = C( \beta) r_{2}^{2} \sigma$.
Следовательно, на точечный заряд $q_{0}$, помещенный внутрь равномерно заряженной сферы, со стороны шаровых сегментов будут действовать силы, зависимость которых от расстояния $r$ и параметра $\alpha$ будет иметь вид
$F = k \sigma q_{0} \frac{r^{2}}{r^{ \alpha}} C( \beta) = k C ( \beta) \sigma \frac{q_{0}}{r^{ \alpha - 2}}$.
Возможны два варианта поведения точечного заряда.
I вариант. Заряды $q_{0}$ и поверхностный заряд сферы — разноименные. В этом случае $F$ — сила притяжения. Поэтому, если $\alpha > 2 (a = \sqrt{5}, \alpha = \sqrt{7})$, то для $r_{1} > r_{1} F_{2} < F_{1}$ и заряд упадет на ближний к нему участок поверхности сферы.
Если $\alpha < 2 ( \alpha = \sqrt{2} , \alpha = \sqrt{3} )$, то для $r_{2} > r_{1} F_{2} > F_{1}$ и первоначально покоившийся заряд будет двигаться ускоренно до центра сферы, а затем начнет замедляться и остановится с другой стороны от центра сферы на расстоянии от поверхности, равном $r_{1}$. После остановки заряд $q_{0}$ вновь начнет двигаться, но уже в обратном направлении, т.е. заряд $q_{0}$ будет совершать колебательное движение.
II вариант. Заряды $q_{0}$ и заряд сферы — одноименные. В этом случае $F$ — сила отталкивания.
При $\alpha = \sqrt{5}$ и $\alpha = \sqrt{7}$ заряд будет совершать колебательное движение.
При $\alpha = \sqrt{2}$ и $\alpha = \sqrt{}$ заряд упадет на ближний к нему участок поверхности сферы.
