Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3750
2017-07-12 
Три точечных одноименных заряда помещены в вершинах куба, длина ребра которого равна $a$. Определите напряженность электрического поля в точке А. Рассмотреть случаи (а, б, в, г) относительного расположения зарядов, приведенные на рисунках.
Решение:
В данном случае напряженность поля $\vec{E}$ в точке А, являющуюся векторной суммой полей $\vec{E}_{i} (i = 1, 2, 3)$, создаваемых каждым из Зарядов $q_{i}$
$\vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} + \vec{E}_{3}$,
удобнее находить, вычислив предварительно проекции вектора $\vec{E}$ на оси выбранной системы координат, т.е.
$E_{x} = E_{1x} + E_{2x} + E_{3x}$,
$E_{y} = E_{1y} + E_{2y} + E_{3y}$,
$E_{z} = E_{1z} + E_{2z} + E_{3z}$.
Модуль вектора $\vec{E}$ будет равен
$E = \sqrt{ (E_{1x} + E_{2x} + E_{3x})^{2} + (E_{1y} + E_{2y} + E_{3y})^{2} + (E_{1z} + E_{2z} + E_{3z})^{2}}$.
Принимая во внимание особенности расположения зарядов в пространстве, удобно в качестве системы координат взять декарто-ву систему координат с началом в точке А и осями, направленными вдоль ребер куба. Тогда (см. рисунок) в случаях:
a) $E_{x} = E_{3x} = k \frac{3q}{ ( \sqrt{3} a)^{2}} \cos \alpha \cdot \cos 45^{ \circ} = k \frac{q}{ \sqrt{3} a^{2}}$,
$E_{y} = E_{2y} + E_{3y} = k \frac{2q}{ ( \sqrt{2} a)^{2}} \cos 45^{ \circ} + k \frac{3q}{ ( \sqrt{3} a)^{2}} \cos \alpha \cdot \sin 45^{ \circ} = k \frac{ \sqrt{2}}{2} \frac{q}{a^{2}} + k \frac{q}{ \sqrt{3} a^{2}} = \left ( \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right ) k \frac{q}{a^{2}}$,
$E_{z} = E_{1z} + E_{2z} + E_{3z} = k \frac{q}{a^{2}} + k \frac{2q}{ ( \sqrt{2} a)^{2}} \sin 45^{ \circ} + k \frac{3q}{ ( \sqrt{3} a)^{2}} \sin \alpha = \left ( 1 + \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right ) k \frac{ q}{ a^{2}} k \frac{q}{a^{2}}$,
$E = \sqrt{ E_{x}^{2} + E_{y}^{2} + E_{z}^{2}} = \frac{kq}{a^{2}} \sqrt{ \frac{1}{3} + \left ( \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )^{2} + \left ( 1 + \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )^{2} }$;
б) $E = \frac{kq}{a^{2}} \sqrt{ 2 \left ( \frac{1}{2 \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )^{2} + \left ( 2 + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )^{2}}$;
в) $E = \frac{kq^{2}}{a^{2}} \sqrt{ 2 \left ( \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{2}{ \sqrt{3}} \right )^{2} + \left ( 1 + \frac{2}{ \sqrt{3}} \right )^{2}}$;
г) $E = \frac{kq^{2}}{a^{2}} \sqrt{ \frac{4}{27} + \left ( 2 + \frac{3}{ 2 \sqrt{2}} + \frac{2}{ 3 \sqrt{3}} \right )^{2} + \left ( \frac{3}{ 2 \sqrt{2}} + \frac{2}{ 3 \sqrt{3}} \right )^{2}}$
Три точечных одноименных заряда помещены в вершинах куба, длина ребра которого равна $a$. Определите напряженность электрического поля в точке А. Рассмотреть случаи (а, б, в, г) относительного расположения зарядов, приведенные на рисунках.
Решение:
В данном случае напряженность поля $\vec{E}$ в точке А, являющуюся векторной суммой полей $\vec{E}_{i} (i = 1, 2, 3)$, создаваемых каждым из Зарядов $q_{i}$
$\vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} + \vec{E}_{3}$,
удобнее находить, вычислив предварительно проекции вектора $\vec{E}$ на оси выбранной системы координат, т.е.
$E_{x} = E_{1x} + E_{2x} + E_{3x}$,
$E_{y} = E_{1y} + E_{2y} + E_{3y}$,
$E_{z} = E_{1z} + E_{2z} + E_{3z}$.
Модуль вектора $\vec{E}$ будет равен
$E = \sqrt{ (E_{1x} + E_{2x} + E_{3x})^{2} + (E_{1y} + E_{2y} + E_{3y})^{2} + (E_{1z} + E_{2z} + E_{3z})^{2}}$.
Принимая во внимание особенности расположения зарядов в пространстве, удобно в качестве системы координат взять декарто-ву систему координат с началом в точке А и осями, направленными вдоль ребер куба. Тогда (см. рисунок) в случаях:
a) $E_{x} = E_{3x} = k \frac{3q}{ ( \sqrt{3} a)^{2}} \cos \alpha \cdot \cos 45^{ \circ} = k \frac{q}{ \sqrt{3} a^{2}}$,
$E_{y} = E_{2y} + E_{3y} = k \frac{2q}{ ( \sqrt{2} a)^{2}} \cos 45^{ \circ} + k \frac{3q}{ ( \sqrt{3} a)^{2}} \cos \alpha \cdot \sin 45^{ \circ} = k \frac{ \sqrt{2}}{2} \frac{q}{a^{2}} + k \frac{q}{ \sqrt{3} a^{2}} = \left ( \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right ) k \frac{q}{a^{2}}$,
$E_{z} = E_{1z} + E_{2z} + E_{3z} = k \frac{q}{a^{2}} + k \frac{2q}{ ( \sqrt{2} a)^{2}} \sin 45^{ \circ} + k \frac{3q}{ ( \sqrt{3} a)^{2}} \sin \alpha = \left ( 1 + \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right ) k \frac{ q}{ a^{2}} k \frac{q}{a^{2}}$,
$E = \sqrt{ E_{x}^{2} + E_{y}^{2} + E_{z}^{2}} = \frac{kq}{a^{2}} \sqrt{ \frac{1}{3} + \left ( \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )^{2} + \left ( 1 + \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )^{2} }$;
б) $E = \frac{kq}{a^{2}} \sqrt{ 2 \left ( \frac{1}{2 \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )^{2} + \left ( 2 + \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )^{2}}$;
в) $E = \frac{kq^{2}}{a^{2}} \sqrt{ 2 \left ( \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{2}{ \sqrt{3}} \right )^{2} + \left ( 1 + \frac{2}{ \sqrt{3}} \right )^{2}}$;
г) $E = \frac{kq^{2}}{a^{2}} \sqrt{ \frac{4}{27} + \left ( 2 + \frac{3}{ 2 \sqrt{2}} + \frac{2}{ 3 \sqrt{3}} \right )^{2} + \left ( \frac{3}{ 2 \sqrt{2}} + \frac{2}{ 3 \sqrt{3}} \right )^{2}}$
