Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3725
2017-06-30 
В открытый цилиндрический сосуд налиты в виде трех тонких горизонтальных слоев несмешивающиеся и взаимнонерастворимые жидкости. Сосуд с жидкостями медленно и равномерно по объему нагревают. При какой температуре в сосуде начнется процесс кипения? Давление наружного воздуха — нормачьное атмосферное. Зависимость давления насыщенного пара от температуры для каждой из жидкостей можно представить в виде $p_{нп} = \alpha (T - T_{пл})^{2}$, где $T_{пл}$ — температура плавления, $\alpha$ — постоянная величина. Для налитых в сосуд жидкостей температуры плавления и кипения соответственно равны: $T_{пл1} = 300 К, T_{кип1} = 400 К, T_{пл2} = 300К, T_{кип2} =380 К, T_{кип3} = 250 K, T_{кип3} = 350 К$. Насыщенный пар можно считать идеальным газом. $p_{атм} = 10^{5} Па$.
Решение:
Процесс кипения начнется в местах, где имеются неоднородности, например, там. где проходят границы раздела слоев разнородных жидкостей или на стенках сосуда. Так как нагрев по условию осуществляется медленно и равномерно, т.е. температуру стенок сосуда можно считать совпадающей с температурой жидкости, то наиболее благоприятные условия для начала процесса кипения складываются на границах раздела слоев жидкости и вот почему. В соответствии с законом Дальтона для идеального газа при образовании пузырька пара на границе раздела давление внутри него будет складываться из парциальных давлений насыщенного пара каждой из жидкостей, т.е. условие закипания на границе раздела двух жидкостей $j$-й и $k$-й запишется следующим образом:
$p_{атм} = p_{нп}(j) + p_{нп}(k)$
Гидростатическим давлением столба жидкости можно пренебречь, так как по условию слои жидкости — тонкие. Таким образом, процесс кипения начнется в той части сосуда с жидкостями, где давление паров в пузырьках первым достигнет атмосферного. Это может произойти на одной из двух границ раздела жидкостей: 1-2 или 2-3, при выполнении условия
$p_{атм} = \alpha(j)(T - T_{пл}(j))^{2} + \alpha (k)(T - T_{пл}(k))^{2}$.
Для каждой из жидкостей, налитых в сосуд, найдем вначале, чему равны коэффициенты $\alpha$ в законах $p_{нп} = \alpha(T - Т_{пл})^{2}$. Воспользуемся тем обстоятельством, что кипение начинается при давлении пара жидкости, равном атмосферному давлению. Полагая $p_{нп} = p_{атм}, T = T_{кип}$, найдем
$\alpha = \frac{p_{атм}}{(T_{кип} - T_{пл})^{2}}$,
$p_{нп} = p_{атм} \left ( \frac{T - T_{пл}}{T_{кип} - T_{пл}} \right )^{2}$.
Температура, при которой начнется процесс кипения на границе раздела $j$-й и $k$-й жидкостей, определяется уравнением:
$p_{атм} = p_{атм} \left ( \frac{T - T_{пл}(j)}{ T_{кип}(j) - T_{пл}(j)} \right )^{2} + p_{} \left ( \frac{T - T_{пл}(k)}{ T_{кип}(k) - T_{пл}(k)} \right )^{2}$.
Вводя обозначения:
$\Delta T (k) = T_{кип}(k) - T_{пл}(k)$,
$\alpha = \Delta T_{2}(j) + \Delta T^{2}(k)$,
$b = T_{пл}(j) \Delta T^{2}(k) + T_{пл} (k) \Delta T^{2}(j)$,
$c = T_{пл}^{2} (j) \Delta T^{2} (k) + T_{пл}^{2} (k) \Delta T^{2} (j) - \Delta T^{2}(j) \Delta T^{2}(k)$
и решая полученное квадратное уравнение относительно $T$, получим
$T_{1,2} = T_{кип} (j,k) = \frac{b \pm \sqrt{ b^{2} - ac}}{a}$.
Решение со знаком «-» в числителе, т.е. $T_{2} = \frac{b - \sqrt{ b^{2} - ac}}{a}$, следует отбросить, так как при подстановке числовых значений температура кипения получается ниже температуры плавления каждой из жидкостей.
Вычисления температуры кипения дают
$T_{кип}^{(12)} \approx 354 К$,
$T_{кип}^{(23)} \approx 362 К$
Таким образом, кипение жидкости в сосуде начнется на границе раздела слоев 1 и 2 при температуре $T_{кип} \approx 354 К$.
В открытый цилиндрический сосуд налиты в виде трех тонких горизонтальных слоев несмешивающиеся и взаимнонерастворимые жидкости. Сосуд с жидкостями медленно и равномерно по объему нагревают. При какой температуре в сосуде начнется процесс кипения? Давление наружного воздуха — нормачьное атмосферное. Зависимость давления насыщенного пара от температуры для каждой из жидкостей можно представить в виде $p_{нп} = \alpha (T - T_{пл})^{2}$, где $T_{пл}$ — температура плавления, $\alpha$ — постоянная величина. Для налитых в сосуд жидкостей температуры плавления и кипения соответственно равны: $T_{пл1} = 300 К, T_{кип1} = 400 К, T_{пл2} = 300К, T_{кип2} =380 К, T_{кип3} = 250 K, T_{кип3} = 350 К$. Насыщенный пар можно считать идеальным газом. $p_{атм} = 10^{5} Па$.
Решение:
Процесс кипения начнется в местах, где имеются неоднородности, например, там. где проходят границы раздела слоев разнородных жидкостей или на стенках сосуда. Так как нагрев по условию осуществляется медленно и равномерно, т.е. температуру стенок сосуда можно считать совпадающей с температурой жидкости, то наиболее благоприятные условия для начала процесса кипения складываются на границах раздела слоев жидкости и вот почему. В соответствии с законом Дальтона для идеального газа при образовании пузырька пара на границе раздела давление внутри него будет складываться из парциальных давлений насыщенного пара каждой из жидкостей, т.е. условие закипания на границе раздела двух жидкостей $j$-й и $k$-й запишется следующим образом:
$p_{атм} = p_{нп}(j) + p_{нп}(k)$
Гидростатическим давлением столба жидкости можно пренебречь, так как по условию слои жидкости — тонкие. Таким образом, процесс кипения начнется в той части сосуда с жидкостями, где давление паров в пузырьках первым достигнет атмосферного. Это может произойти на одной из двух границ раздела жидкостей: 1-2 или 2-3, при выполнении условия
$p_{атм} = \alpha(j)(T - T_{пл}(j))^{2} + \alpha (k)(T - T_{пл}(k))^{2}$.
Для каждой из жидкостей, налитых в сосуд, найдем вначале, чему равны коэффициенты $\alpha$ в законах $p_{нп} = \alpha(T - Т_{пл})^{2}$. Воспользуемся тем обстоятельством, что кипение начинается при давлении пара жидкости, равном атмосферному давлению. Полагая $p_{нп} = p_{атм}, T = T_{кип}$, найдем
$\alpha = \frac{p_{атм}}{(T_{кип} - T_{пл})^{2}}$,
$p_{нп} = p_{атм} \left ( \frac{T - T_{пл}}{T_{кип} - T_{пл}} \right )^{2}$.
Температура, при которой начнется процесс кипения на границе раздела $j$-й и $k$-й жидкостей, определяется уравнением:
$p_{атм} = p_{атм} \left ( \frac{T - T_{пл}(j)}{ T_{кип}(j) - T_{пл}(j)} \right )^{2} + p_{} \left ( \frac{T - T_{пл}(k)}{ T_{кип}(k) - T_{пл}(k)} \right )^{2}$.
Вводя обозначения:
$\Delta T (k) = T_{кип}(k) - T_{пл}(k)$,
$\alpha = \Delta T_{2}(j) + \Delta T^{2}(k)$,
$b = T_{пл}(j) \Delta T^{2}(k) + T_{пл} (k) \Delta T^{2}(j)$,
$c = T_{пл}^{2} (j) \Delta T^{2} (k) + T_{пл}^{2} (k) \Delta T^{2} (j) - \Delta T^{2}(j) \Delta T^{2}(k)$
и решая полученное квадратное уравнение относительно $T$, получим
$T_{1,2} = T_{кип} (j,k) = \frac{b \pm \sqrt{ b^{2} - ac}}{a}$.
Решение со знаком «-» в числителе, т.е. $T_{2} = \frac{b - \sqrt{ b^{2} - ac}}{a}$, следует отбросить, так как при подстановке числовых значений температура кипения получается ниже температуры плавления каждой из жидкостей.
Вычисления температуры кипения дают
$T_{кип}^{(12)} \approx 354 К$,
$T_{кип}^{(23)} \approx 362 К$
Таким образом, кипение жидкости в сосуде начнется на границе раздела слоев 1 и 2 при температуре $T_{кип} \approx 354 К$.
