Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3697
2017-06-30 
Один моль идеального одноатомного газа участвует в термодинамическом процессе, для которого его теплоемкость меняется по закону $c = R(T_{0}^{2} / T^{2})$, где $T_{0} = 300 К$. При какой температуре объем газа будет максимальным?
Решение:
В термодинамическом процессе, в котором участвует газ, количество подведенного тепла, внутренняя энергия и работа, совершаемая газом, изменяются соответственно по законам:
$Q = c \Delta T = \frac{T_{0}^{2}}{T^{2}} R \Delta T$,
$\Delta U = \frac{3}{2} R \Delta T$
и
$A = p \Delta V = \frac{RT}{V} \Delta V$,
где $\Delta T$ — изменение температуры газа; $\Delta V$ — изменение его объема. Коэффициент $\frac{3}{2}$ в $\Delta U$ учитывает одноатомность газа, а формула для работы газа написана с учетом того, что взят один моль идеального газа.
В таком случае первое начало термодинамики для газа, свойства которого указаны в условии задачи, запишется как
$\frac{T_{0}^{2}}{T^{2}} R \Delta T = \frac{3}{2} R \Delta T + \frac{TR}{V} \Delta V$.
Поделив обе части полученного соотношения на $\Delta T$ и рассматривая бесконечно малые изменения температуры, найдем
$lim_{ \Delta T \rightarrow 0} \frac{ \Delta V}{ \Delta T} = \frac{dV}{dT} = \frac{V}{T} \left ( \frac{T_{0}^{2}}{T^{2}} - \frac{3}{2} \right )$.
Экстремальные значения объема газа будут соответствовать случаю, когда $\frac{dV}{dT} = 0$. Приравнивая правую часть последнего соотношения нулю, находим, что экстремальная температура газа равна
$T_{экстр} = \sqrt{ \frac{2}{3}} T_{0} \approx 245 К$.
Заменив в $\frac{dV}{dt}$ на $T_{экстр}$, убеждаемся в том, что при этой температуре $T_{экстр}$, объем газа действительно максимальный, так как при $T < T_{экстр} \frac{dV}{dT} > 0$, а при $T > T_{экстр} \frac{dV}{dT} < 0$.
Возможно ответить на вопрос задачи в результате несколько упрощенных рассуждений, а именно, если согласно условиям задачи в указанном процессе при некоторой температуре объем газа достигает своего максимума, то в этой точке $\frac{dV}{dT} = 0$, а следовательно, в ее окрестностях процесс совпадает с изохорическим, т.е. теплоемкость газа совпадает с теплоемкостью в изохорическом процессе
$R \left ( \frac{T_{0}}{T_{экстр}} \right )^{2} = \frac{3}{2} R \Rightarrow T_{экстр} = \sqrt{ \frac{2}{3} } T_{0}$.
Один моль идеального одноатомного газа участвует в термодинамическом процессе, для которого его теплоемкость меняется по закону $c = R(T_{0}^{2} / T^{2})$, где $T_{0} = 300 К$. При какой температуре объем газа будет максимальным?
Решение:
В термодинамическом процессе, в котором участвует газ, количество подведенного тепла, внутренняя энергия и работа, совершаемая газом, изменяются соответственно по законам:
$Q = c \Delta T = \frac{T_{0}^{2}}{T^{2}} R \Delta T$,
$\Delta U = \frac{3}{2} R \Delta T$
и
$A = p \Delta V = \frac{RT}{V} \Delta V$,
где $\Delta T$ — изменение температуры газа; $\Delta V$ — изменение его объема. Коэффициент $\frac{3}{2}$ в $\Delta U$ учитывает одноатомность газа, а формула для работы газа написана с учетом того, что взят один моль идеального газа.
В таком случае первое начало термодинамики для газа, свойства которого указаны в условии задачи, запишется как
$\frac{T_{0}^{2}}{T^{2}} R \Delta T = \frac{3}{2} R \Delta T + \frac{TR}{V} \Delta V$.
Поделив обе части полученного соотношения на $\Delta T$ и рассматривая бесконечно малые изменения температуры, найдем
$lim_{ \Delta T \rightarrow 0} \frac{ \Delta V}{ \Delta T} = \frac{dV}{dT} = \frac{V}{T} \left ( \frac{T_{0}^{2}}{T^{2}} - \frac{3}{2} \right )$.
Экстремальные значения объема газа будут соответствовать случаю, когда $\frac{dV}{dT} = 0$. Приравнивая правую часть последнего соотношения нулю, находим, что экстремальная температура газа равна
$T_{экстр} = \sqrt{ \frac{2}{3}} T_{0} \approx 245 К$.
Заменив в $\frac{dV}{dt}$ на $T_{экстр}$, убеждаемся в том, что при этой температуре $T_{экстр}$, объем газа действительно максимальный, так как при $T < T_{экстр} \frac{dV}{dT} > 0$, а при $T > T_{экстр} \frac{dV}{dT} < 0$.
Возможно ответить на вопрос задачи в результате несколько упрощенных рассуждений, а именно, если согласно условиям задачи в указанном процессе при некоторой температуре объем газа достигает своего максимума, то в этой точке $\frac{dV}{dT} = 0$, а следовательно, в ее окрестностях процесс совпадает с изохорическим, т.е. теплоемкость газа совпадает с теплоемкостью в изохорическом процессе
$R \left ( \frac{T_{0}}{T_{экстр}} \right )^{2} = \frac{3}{2} R \Rightarrow T_{экстр} = \sqrt{ \frac{2}{3} } T_{0}$.
