Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3649
2017-06-30 
Свободно перемещающийся непроницаемый, тонкий и невесомый поршень делит цилиндрический сосуд объемом $V = 100 л$ на две части. В одну часть сосуда вводят некоторое количество воды, а в другую некоторое количество газа. В сосуде поддерживают температуру $T = 373 К$. Какое давление установится в сосуде, если в него вводят:
а) $m_{1} = 74 г$ воды, $m_{2} = 10 г$ водорода;
б) $m_{1} = 74 г$ воды, $m_{2} = 74 г$ углекислого газа;
в) $m_{1} = 36 г$ воды, $m_{2} = 2,8 г$ азота.
Молярные массы: воды $\mu_{1} = 18 г/моль$, водорода $\mu_{H_{2}} = 2 г/моль$, углекислого газа $\mu_{CO_{2}} = 44 г/моль$, азота $\mu_{N_{2}} = 28 г/моль$.
Решение:
Рассмотрим случай а), когда во вторую часть сосуда вводят $m_{2} = 10 г$ водорода.
Так как в сосуде поддерживается температура $T = 373 К$, т.е. температура кипения воды при давлении $p = 10^{5} Па$, то установившееся в сосуде состояние равновесия будет зависеть от того, сколько испарится воды.
Найдем вначале максимальное количество воды $m_{max}$, которая может испариться. Это произойдет в том случае, если пары воды будут занимать весь объем сосуда. Из уравнения состояния идеального газа
$m_{max} = \mu \frac{pV}{RT}$,
где в качестве давления следует взять давление насыщенных паров при температуре $T = 373 К$, которое, как известно, составляет $p_{нас} \approx 1 \cdot 10^{5} Па$. Тогда
$m_{max} = \frac{18 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{5} \cdot 100 \cdot 10^{-3}}{8,3 \cdot 373} кг \approx 58 г$.
Так как $m_{max} < m_{1}$, то испариться может только часть введенной в сосуд воды. Это означает, что максимальное значение давления паров воды в сосуде $p_{N_{2}O}^{ max} $ равно давлению насыщенных паров, т.е. $p_{H_{2}O}^{ max} \approx 1 \cdot 10^{5} Па$.
В то же время в той части сосуда, в которую поместили водород, давление не может быть меньше того давления $p_{H_{2}}^{ min}$, которое будет в случае, когда водород занимает весь объем сосуда. Из уравнения Клапейрона — Менделеева:
$p_{H_{2}}^{ min} = \frac{m_{2}}{ \mu_{H_{2}}} \frac{RT}{V} = 1,55 \cdot 10^{5} Па$.
Так как $p_{H_{2}}^{min}$ больше максимально возможного при $T = 373 К$ давления паров воды, то в сосуде установится давление $p_{H_{2}}^{min}$. При этом вода будет целиком находиться в жидком состоянии и ее объемом $V_{1} = 0,074 л$ по сравнению с объемом сосуда при расчете давления можно пренебречь, т.е. можно считать, что практически весь объем сосуда занят водородом.
В случае б) реализуется другой вариант равновесного состояния системы, а именно — в той части сосуда, куда помещалась вода, будет находиться смесь воды в жидком состоянии и насыщенного водяного пара. При этом давление в сосуде будет равно $p = 10^{5} Па$, т.е. давлению насыщенного пара при $T = 373 К$. Это обусловлено тем обстоятельством, что давление углекислого газа в объеме $V = 100 л$ при $T = 373 К$
$p_{CO_{2}}^{ min} = \frac{m_{2}}{ \mu_{CO_{2}}} \frac{RT}{V} \approx 5,2 \cdot 10^{4} Па$
меньше давления насыщенного водяного пара. При давлении насыщенного мать объем сыщенного водяного пара $p = 10^{5} Па$ углекислый газ будет занимать объем
$V_{CO_{2}} = \frac{m_{2}RT}{ \mu_{CO_{2}} \cdot p} \approx 52 л$.
Насыщенный водяной пар с водой будут занимать объем $V_{в} = V - V_{CO_{2}} \approx 48 л$. Масса насыщенного водяного пара, т.е. количество испарившейся воды составит
$m = \mu \frac{pV_{В}}{RT} \approx 28 г$.
Таким образом, давление в сосуде будет равно $p = 10^{5} Па$ при массе испарившейся воды $m \approx 28 г$.
В случае с) реализуется третий вариант возможного равновесного состояния системы: в обеих частях сосуда содержится идеальный газ, причем в той части сосуда, в которую наливалась вода, будет находиться ненасыщенный водяной пар, так как количество налитой в сосуд воды меньше $m_{max}$ (см. случай «а»). Следовательно, давление в сосуде будет меньше давления насыщенных паров воды при $T = 373 К$, т.е. меньше чем $p = 10^{5} Па$. Проверка этой гипотезы и составляет суть решения.
Складывая по частям равенства, выражающие уравнения стояния пара в одной части сосуда и газа в другой:
$pV_{1} = \frac{m_{1}}{ \mu_{H_{2}O}}$ и $pV_{2} = \frac{m_{2}}{ \mu_{N_{2}}} RT$,
находим
$p = \left ( \frac{m_{1}}{ \mu_{H_{2}O}} + \frac{m_{2}}{ \mu_{N_{2}}} \right ) \frac{RT}{V} \approx 0,9 \cdot 10^{5} Па$.
Свободно перемещающийся непроницаемый, тонкий и невесомый поршень делит цилиндрический сосуд объемом $V = 100 л$ на две части. В одну часть сосуда вводят некоторое количество воды, а в другую некоторое количество газа. В сосуде поддерживают температуру $T = 373 К$. Какое давление установится в сосуде, если в него вводят:
а) $m_{1} = 74 г$ воды, $m_{2} = 10 г$ водорода;
б) $m_{1} = 74 г$ воды, $m_{2} = 74 г$ углекислого газа;
в) $m_{1} = 36 г$ воды, $m_{2} = 2,8 г$ азота.
Молярные массы: воды $\mu_{1} = 18 г/моль$, водорода $\mu_{H_{2}} = 2 г/моль$, углекислого газа $\mu_{CO_{2}} = 44 г/моль$, азота $\mu_{N_{2}} = 28 г/моль$.
Решение:
Рассмотрим случай а), когда во вторую часть сосуда вводят $m_{2} = 10 г$ водорода.
Так как в сосуде поддерживается температура $T = 373 К$, т.е. температура кипения воды при давлении $p = 10^{5} Па$, то установившееся в сосуде состояние равновесия будет зависеть от того, сколько испарится воды.
Найдем вначале максимальное количество воды $m_{max}$, которая может испариться. Это произойдет в том случае, если пары воды будут занимать весь объем сосуда. Из уравнения состояния идеального газа
$m_{max} = \mu \frac{pV}{RT}$,
где в качестве давления следует взять давление насыщенных паров при температуре $T = 373 К$, которое, как известно, составляет $p_{нас} \approx 1 \cdot 10^{5} Па$. Тогда
$m_{max} = \frac{18 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{5} \cdot 100 \cdot 10^{-3}}{8,3 \cdot 373} кг \approx 58 г$.
Так как $m_{max} < m_{1}$, то испариться может только часть введенной в сосуд воды. Это означает, что максимальное значение давления паров воды в сосуде $p_{N_{2}O}^{ max} $ равно давлению насыщенных паров, т.е. $p_{H_{2}O}^{ max} \approx 1 \cdot 10^{5} Па$.
В то же время в той части сосуда, в которую поместили водород, давление не может быть меньше того давления $p_{H_{2}}^{ min}$, которое будет в случае, когда водород занимает весь объем сосуда. Из уравнения Клапейрона — Менделеева:
$p_{H_{2}}^{ min} = \frac{m_{2}}{ \mu_{H_{2}}} \frac{RT}{V} = 1,55 \cdot 10^{5} Па$.
Так как $p_{H_{2}}^{min}$ больше максимально возможного при $T = 373 К$ давления паров воды, то в сосуде установится давление $p_{H_{2}}^{min}$. При этом вода будет целиком находиться в жидком состоянии и ее объемом $V_{1} = 0,074 л$ по сравнению с объемом сосуда при расчете давления можно пренебречь, т.е. можно считать, что практически весь объем сосуда занят водородом.
В случае б) реализуется другой вариант равновесного состояния системы, а именно — в той части сосуда, куда помещалась вода, будет находиться смесь воды в жидком состоянии и насыщенного водяного пара. При этом давление в сосуде будет равно $p = 10^{5} Па$, т.е. давлению насыщенного пара при $T = 373 К$. Это обусловлено тем обстоятельством, что давление углекислого газа в объеме $V = 100 л$ при $T = 373 К$
$p_{CO_{2}}^{ min} = \frac{m_{2}}{ \mu_{CO_{2}}} \frac{RT}{V} \approx 5,2 \cdot 10^{4} Па$
меньше давления насыщенного водяного пара. При давлении насыщенного мать объем сыщенного водяного пара $p = 10^{5} Па$ углекислый газ будет занимать объем
$V_{CO_{2}} = \frac{m_{2}RT}{ \mu_{CO_{2}} \cdot p} \approx 52 л$.
Насыщенный водяной пар с водой будут занимать объем $V_{в} = V - V_{CO_{2}} \approx 48 л$. Масса насыщенного водяного пара, т.е. количество испарившейся воды составит
$m = \mu \frac{pV_{В}}{RT} \approx 28 г$.
Таким образом, давление в сосуде будет равно $p = 10^{5} Па$ при массе испарившейся воды $m \approx 28 г$.
В случае с) реализуется третий вариант возможного равновесного состояния системы: в обеих частях сосуда содержится идеальный газ, причем в той части сосуда, в которую наливалась вода, будет находиться ненасыщенный водяной пар, так как количество налитой в сосуд воды меньше $m_{max}$ (см. случай «а»). Следовательно, давление в сосуде будет меньше давления насыщенных паров воды при $T = 373 К$, т.е. меньше чем $p = 10^{5} Па$. Проверка этой гипотезы и составляет суть решения.
Складывая по частям равенства, выражающие уравнения стояния пара в одной части сосуда и газа в другой:
$pV_{1} = \frac{m_{1}}{ \mu_{H_{2}O}}$ и $pV_{2} = \frac{m_{2}}{ \mu_{N_{2}}} RT$,
находим
$p = \left ( \frac{m_{1}}{ \mu_{H_{2}O}} + \frac{m_{2}}{ \mu_{N_{2}}} \right ) \frac{RT}{V} \approx 0,9 \cdot 10^{5} Па$.
