Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3648
2017-06-30 
В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится массивный поршень, по обе стороны которого по одному молю воздуха при одинаковой температуре. Отношение верхнего объема к нижнему $n = 4,0$. Каким станет отношение объемов, если общий объем, занимаемый газом, уменьшить в $k = 2,0$ раза, а количество и температуру газа, а также массу и размеры поршня оставить неизменными. Трение поршня о стенки цилиндра пренебрежимо мало.
Решение:
Пусть $V_{10}$ и $V_{20}$ — начальные объемы газов в верхней и нижней частях цилиндра; $V_{1}$ и $V_{2}$ — объемы тех же газов после их сжатия. По условию задачи $\frac{V_{10}}{V_{20}} = n$. Общий объем газов до сжатия $V_{0} = V_{10} + V_{20} = (n+1) V_{20}$.
Давление в нижней части цилиндра всегда больше давления в его верхней части на величину давления $p_{п}$, создаваемого весом поршня, т.е.
$p_{п} = p_{2} - p_{1} = p_{20} - p_{10}$.
Подставляем сюда выражения для давлений из уравнения Клапейрона — Менделеева, приняв во внимание тот факт, что количество и температура газа при их сжатии не изменились
$\frac{1}{V_{2}} - \frac{1}{V_{1}} = \frac{1}{V_{20}} - \frac{1}{V_{10}} = \frac{n-1}{nV_{20}}$.
По условию задачи общий объем газа уменьшается в $k$ раз, поэтому
$V_{20} = \frac{V_{10} + V_{20}}{n+1} = \frac{V_{0}}{n+1} = \frac{kV}{n+1} = \frac{k(V_{2} + V_{1})}{n+1}$.
Из двух последних равенств находим
$\frac{1}{V_{2}} - \frac{1}{V_{1}} = \frac{n^{2} - 1}{kn(V_{2} + V_{1})}$
Преобразуя это равенство и сделав в нем замену $r = \frac{V_{1}}{V_{2}}$, получим квадратное уравнение относительно искомой величины $r$
$r^{2} - \frac{n^{2} - 1}{kn} r - 1 = 0$.
Физический смысл имеет только один корень этого уравнения:
$r = \frac{n^{2} - 1}{2kn} + \sqrt{ \frac{(n^{2} - 1)^{2}}{4k^{2}n^{2}} + 1}$.
Численное значение этого корня
$r \approx 2,3$.
В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится массивный поршень, по обе стороны которого по одному молю воздуха при одинаковой температуре. Отношение верхнего объема к нижнему $n = 4,0$. Каким станет отношение объемов, если общий объем, занимаемый газом, уменьшить в $k = 2,0$ раза, а количество и температуру газа, а также массу и размеры поршня оставить неизменными. Трение поршня о стенки цилиндра пренебрежимо мало.
Решение:
Пусть $V_{10}$ и $V_{20}$ — начальные объемы газов в верхней и нижней частях цилиндра; $V_{1}$ и $V_{2}$ — объемы тех же газов после их сжатия. По условию задачи $\frac{V_{10}}{V_{20}} = n$. Общий объем газов до сжатия $V_{0} = V_{10} + V_{20} = (n+1) V_{20}$.
Давление в нижней части цилиндра всегда больше давления в его верхней части на величину давления $p_{п}$, создаваемого весом поршня, т.е.
$p_{п} = p_{2} - p_{1} = p_{20} - p_{10}$.
Подставляем сюда выражения для давлений из уравнения Клапейрона — Менделеева, приняв во внимание тот факт, что количество и температура газа при их сжатии не изменились
$\frac{1}{V_{2}} - \frac{1}{V_{1}} = \frac{1}{V_{20}} - \frac{1}{V_{10}} = \frac{n-1}{nV_{20}}$.
По условию задачи общий объем газа уменьшается в $k$ раз, поэтому
$V_{20} = \frac{V_{10} + V_{20}}{n+1} = \frac{V_{0}}{n+1} = \frac{kV}{n+1} = \frac{k(V_{2} + V_{1})}{n+1}$.
Из двух последних равенств находим
$\frac{1}{V_{2}} - \frac{1}{V_{1}} = \frac{n^{2} - 1}{kn(V_{2} + V_{1})}$
Преобразуя это равенство и сделав в нем замену $r = \frac{V_{1}}{V_{2}}$, получим квадратное уравнение относительно искомой величины $r$
$r^{2} - \frac{n^{2} - 1}{kn} r - 1 = 0$.
Физический смысл имеет только один корень этого уравнения:
$r = \frac{n^{2} - 1}{2kn} + \sqrt{ \frac{(n^{2} - 1)^{2}}{4k^{2}n^{2}} + 1}$.
Численное значение этого корня
$r \approx 2,3$.
