Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3634
2017-06-03 
Брусок из материала с модулем Юнга $E$ и коэффициентом Пуассона $\mu$, подвергли всестороннему сжатию давлением $p$. Найти:
а) относительное уменьшение его объема;
б) связь между коэффициентом сжимаемости $\beta$ и упругими постоянными $E$ и $\mu$.
Показать, что коэффициент Пуассона ц не может превышать 1/2.
Решение:
Рассмотрим длину бруска до наложения давления. Давление действует на каждую грань. Давление на противоположных поверхностях представляет собой растягивающее напряжение, создающее продольное сжатие и боковое растяжение. Сжимающая сила $\frac{p}{E}$, а боковое расширение $\mu \frac{p}{E}$ Конечным результатом является сжатие
$\frac{p}{E}(1 - 2 \mu)$ на каждой стороне.
Следовательно, $\frac{ \Delta V}{V} = - \frac{3p}{E} (1 - 2 \mu)$, из симметрии $\frac{ \Delta V}{V} = 3 \frac{ \Delta l}{l}$
(б) Рассмотрим куб при равномерном сжимающем напряжении $\sigma$, действующем на всех его гранях.
ТОгда, объемная деформация $= - \frac{ \Delta V}{V} = \frac{ \sigma}{k}$, (1)
Где $k$ - объемный модуль упругости. Так
Итак $\frac{ \sigma}{k} = \frac{3 \sigma}{E} (1 - 2 \mu)$
или, $E = 3k (1 - 2 \mu) = \frac{3}{ \beta} (1 - 2 \mu)$ (где $k = \frac{1}{ \beta}$)
$\mu \leq \frac{1}{2}$, если $E$ и $\beta$ оба останутся положительными.
Брусок из материала с модулем Юнга $E$ и коэффициентом Пуассона $\mu$, подвергли всестороннему сжатию давлением $p$. Найти:
а) относительное уменьшение его объема;
б) связь между коэффициентом сжимаемости $\beta$ и упругими постоянными $E$ и $\mu$.
Показать, что коэффициент Пуассона ц не может превышать 1/2.
Решение:
Рассмотрим длину бруска до наложения давления. Давление действует на каждую грань. Давление на противоположных поверхностях представляет собой растягивающее напряжение, создающее продольное сжатие и боковое растяжение. Сжимающая сила $\frac{p}{E}$, а боковое расширение $\mu \frac{p}{E}$ Конечным результатом является сжатие
$\frac{p}{E}(1 - 2 \mu)$ на каждой стороне.
Следовательно, $\frac{ \Delta V}{V} = - \frac{3p}{E} (1 - 2 \mu)$, из симметрии $\frac{ \Delta V}{V} = 3 \frac{ \Delta l}{l}$
(б) Рассмотрим куб при равномерном сжимающем напряжении $\sigma$, действующем на всех его гранях.
ТОгда, объемная деформация $= - \frac{ \Delta V}{V} = \frac{ \sigma}{k}$, (1)
Где $k$ - объемный модуль упругости. Так
Итак $\frac{ \sigma}{k} = \frac{3 \sigma}{E} (1 - 2 \mu)$
или, $E = 3k (1 - 2 \mu) = \frac{3}{ \beta} (1 - 2 \mu)$ (где $k = \frac{1}{ \beta}$)
$\mu \leq \frac{1}{2}$, если $E$ и $\beta$ оба останутся положительными.
