ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-06-03   
Медный стержень длины $l$ подвесили за один конец к потолку. Найти:
а) удлинение стержня $\Delta l$ под действием его собственного веса;
б) относительное приращение его объема $\Delta V/V$.


Решение:


(a) Поскольку свободный конец имеет нулевое напряжение, таким образом, напряжение стержня на расстоянии y от его нижнего конца

$T = \frac{m}{l} gy$ (l)

Пусть $\partial l$ - удлинение элемента длины $dy$, тогда

$\partial l = \frac{ \sigma (y)}{E} dy = \frac{T}{SE} dy = \frac{mgydy}{SlE} = \rho gy dy / E$ (где $\rho$- плотность меди)

Таким образом, искомое удлинение

$\Delta l = \int \partial l = \rho g \int_{0}^{l} \frac{ydy}{E} = \frac{1}{2} \rho gl^{2} /E$ (2)

(б) Если продольная (растягивающая) деформация равна $\epsilon = \frac{ \Delta l}{l}$, сопутствующая боковая (сжимающая) деформация дается выражением

$\epsilon^{ \prime} = \frac{ \Delta r}{r} = - \mu \epsilon$ (3)

Тогда, поскольку $V = \pi r^{2} l$ имеем

$\frac{ \Delta V}{V} = \frac{2 \Delta r}{r} + \frac{ \Delta l}{l} = (1 - 2 \mu) \frac{ \Delta l}{l}$ [Используя (3)]
Где $\frac{ \Delta l}{l}$ дано в части (а), $\mu$ - коэффициент Пуассона для меди.