ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-06-03   
Сплошной медный цилиндр длины $l = 65 см$ поставили на горизонтальную поверхность и сверху приложили вертикальную сжимающую силу $F = 1000 Н$, которая равномерно распределена по его торцу. На сколько кубических миллиметров изменился при этом объем цилиндра?


Решение:


Объем цилиндра

$V = \pi r^{2}l$

Итак, $\frac{ \Delta V}{V} = \frac{ \pi 2r \Delta r l}{ \pi r^{2} l} + \frac{ \pi r^{2} \Delta l}{ \pi r^{2} l} = \frac{2 \Delta r}{r} + \frac{ \Delta l}{l}$ (1)

Но продольная деформация $\Delta l/l$ и сопутствующая боковая деформация $\Delta r/r$ связаны как

$\frac{ \Delta r}{r} = - \mu \frac{ \Delta l}{l}$ (2)

Используя (2) в (1), получим

$\frac{ \Delta V}{V} = \frac{ \Delta l}{l} (1 - 2 \mu)$ (3)

Но $\frac{ \Delta l}{l} = \frac{ -F/ \pi r^{2}}{E}$
(Так как приращение длины цилиндра $\Delta l$ отрицательно)

Так, $\frac{ \Delta V}{V} = \frac{ -F}{ \pi r^{2} E} (1 - 2 \mu)$

Таким образом, $\Delta V = \frac{- Fl}{E} (1 - 2 \mu)$

Отрицательный знак означает, что объем цилиндра уменьшился.