Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3631
2017-06-03 
Тонкий однородный медный стержень длины $l$ и массы $m$ равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$ в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти силу натяжения в стержне в зависимости от расстояния $r$ до оси вращения, а также удлинение стержня.
Решение:
Рассмотрим элемент стержня на расстоянии $r$ от его оси вращения. Когда элемент вращается в горизонтальном круге радиуса $г$, из второго закона Ньютона в проекционной форме, направленного к оси вращения, имеем:
$T - (R + dT) = (dm) \omega^{2} r$
или, $- dT = \left ( \frac{m}{l} dr \right ) \omega^{2} r = \frac{m}{l} \omega^{2} rdr$
На свободном конце напряжение становится равным нулю. Интегрируя вышеперечисленные выражения, получаем
$- \int_{T}^{0} dT = \frac{m}{l} \omega^{2} \int_{r}^{l} rdr$
Таким образом $T = \frac{m \omega^{2}}{l} \left ( \frac{l^{2} - r^{2}}{2} \right ) = \frac{m \omega^{2} l}{2} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{l^{2}} \right )$
Удлинение элементарной длине $dr$ определяется следующим образом:
$\partial \xi = \frac{ \sigma(r)}{E} dr = \frac{T}{SE} dr$
(Где $S$ - площадь поперечного сечения стержня, а $T$ - натяжение стержня на рассматриваемом элементе)
или, $\partial \xi = \frac{m \omega^{2} l}{2SE} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{l^{2}} \right ) dr$
Таким образом, искомое удлинение
$\xi = \int d \xi = \frac{m \omega^{2} l}{2SE} \int_{0}^{l} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{l^{2}} \right ) dr$
Или, $\xi = \frac{m \omega^{2} l}{2SE} \frac{2l}{3} = \frac{(Sl \rho)}{3SE} \omega^{2} l^{3} = \frac{1}{3} \frac{ \rho \omega^{2} l^{3}}{ E}$ (где $\rho$ - плотность меди).
Тонкий однородный медный стержень длины $l$ и массы $m$ равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$ в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти силу натяжения в стержне в зависимости от расстояния $r$ до оси вращения, а также удлинение стержня.
Решение:
Рассмотрим элемент стержня на расстоянии $r$ от его оси вращения. Когда элемент вращается в горизонтальном круге радиуса $г$, из второго закона Ньютона в проекционной форме, направленного к оси вращения, имеем:
$T - (R + dT) = (dm) \omega^{2} r$
или, $- dT = \left ( \frac{m}{l} dr \right ) \omega^{2} r = \frac{m}{l} \omega^{2} rdr$
На свободном конце напряжение становится равным нулю. Интегрируя вышеперечисленные выражения, получаем
$- \int_{T}^{0} dT = \frac{m}{l} \omega^{2} \int_{r}^{l} rdr$
Таким образом $T = \frac{m \omega^{2}}{l} \left ( \frac{l^{2} - r^{2}}{2} \right ) = \frac{m \omega^{2} l}{2} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{l^{2}} \right )$
Удлинение элементарной длине $dr$ определяется следующим образом:
$\partial \xi = \frac{ \sigma(r)}{E} dr = \frac{T}{SE} dr$
(Где $S$ - площадь поперечного сечения стержня, а $T$ - натяжение стержня на рассматриваемом элементе)
или, $\partial \xi = \frac{m \omega^{2} l}{2SE} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{l^{2}} \right ) dr$
Таким образом, искомое удлинение
$\xi = \int d \xi = \frac{m \omega^{2} l}{2SE} \int_{0}^{l} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{l^{2}} \right ) dr$
Или, $\xi = \frac{m \omega^{2} l}{2SE} \frac{2l}{3} = \frac{(Sl \rho)}{3SE} \omega^{2} l^{3} = \frac{1}{3} \frac{ \rho \omega^{2} l^{3}}{ E}$ (где $\rho$ - плотность меди).
