ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-06-03   
Горизонтально расположенный медный стержень длины $l = 1,0 м$ вращают вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. При какой частоте оборотов он может разорваться?


Решение:



Рассмотрим элемент стержня на расстоянии х от его оси вращения (рис.). Из второго закона Ньютона в проекционной форме, направленной к оси вращения

$- dT = (dm) \omega^{2} x = \frac{m}{l} \omega^{2} xdx$

Интегрируя

$- T = \frac{m \omega^{2}}{l} \frac{x^{2}}{2} + C( const)$

Но в $x = \pm \frac{l}{2}$ или свободный конец, $T = 0$

таким образом $0 = \frac{m \omega^{2}}{2} \frac{l^{2}}{4}+ C$ или $C = - \frac{m \omega^{2}l}{8}$

следовательно $T = \frac{m \omega^{2}}{2} \left ( \frac{l}{4} - \frac{x^{2}}{l} \right )$

таким образом $T_{max} = \frac{m \omega^{2}l}{8}$ (В середине)

Необходимым условием является

$T_{max} = S \sigma_{m}$
Итак, $\frac{m \omega^{2}l}{8} = S \sigma_{m}$ или $\omega = \frac{2}{l} \sqrt{ \frac{2 \sigma_{m}}{ \rho}}$

Следовательно, искомое число rps

$n = \frac{ \omega}{2 \pi} = \frac{1}{ \pi l} \sqrt{ \frac{2 \sigma_{m}}{ \rho}}$ [Используя таблицу $n = 0,8 \cdot 10^{2}$ rps]