Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3615
2017-06-03 
На неподвижной платформе Р, которая может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси $OO^{ \prime}$ (рис.), установлен мотор М и уравновешивающий противовес N. Момент инерции платформы с мотором и противовесом относительно этой оси равен $I$. На оси мотора укреплена легкая рамка с однородным шаром Л, который свободно вращается с угловой скоростью $\omega_{0}$ вокруг оси $BB^{ \prime}$, совпадающей с осью $OO^{ \prime}$. Момент инерции шара относительно оси вращения равен $I_{0}$. Найти:
а) работу, которую совершит мотор, повернув ось $BB^{ \prime}$ на $90^{ \circ}$; на $180^{ \circ}$;
б) момент внешних сил, удерживающий ось установки в вертикальном положении после того, как мотор повернет ось $BB^{ \prime}$ на $90^{ \circ}$.
Решение:
(a) Когда ось $BB^{ \prime}$ повернут на $90^{ \prime}$, платформа должна начать вращаться с угловой скоростью $\Sigma$, так что момент импульса остается постоянным. Вот
$(I + I_{0}) \Sigma = I_{0} \omega_{0}$ или, $\Sigma = \frac{I_{0} \omega_{0}}{I + I_{0}}$
Поэтому работа, выполняемая двигателем
$\frac{1}{2} (I + I_{0}) \Sigma^{2} = \frac{1}{2} \frac{I_{0}^{2} \omega_{0}^{2}}{ I + I_{0}}$
Если ось повернута на $180^{ \circ}$, угловая скорость сферы меняет знак. Таким образом, из сохранения углового момента,
$I \Sigma - I_{0} \omega_{0} = I_{0} \omega_{0}$
(Здесь - $I_{0} \omega_{0}$ - полный момент импульса сферы. Предположим, что угловая скорость сферы - $\omega_{0}$). Тогда
$\Sigma = 2 I_{0} \frac{ \omega_{0}}{I}$
И работа должна быть,
$\frac{1}{2} I \Sigma^{2} + \frac{1}{2} I_{0} \omega_{0}^{2} - \frac{1}{2} \omega_{0}^{2} = \frac{2I_{0}^{2} \omega_{0}^{2}}{I}$
(б) В случае (а) первая часть, вектор углового момента сферы прецессирует с угловой скоростью $\Sigma$. Таким образом, крутящий момент,
$I_{0} \omega_{0} \Sigma = \frac{I_{0}^{2} \omega_{0}^{2}}{I + I_{0}}$ необходим.
На неподвижной платформе Р, которая может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси $OO^{ \prime}$ (рис.), установлен мотор М и уравновешивающий противовес N. Момент инерции платформы с мотором и противовесом относительно этой оси равен $I$. На оси мотора укреплена легкая рамка с однородным шаром Л, который свободно вращается с угловой скоростью $\omega_{0}$ вокруг оси $BB^{ \prime}$, совпадающей с осью $OO^{ \prime}$. Момент инерции шара относительно оси вращения равен $I_{0}$. Найти:
а) работу, которую совершит мотор, повернув ось $BB^{ \prime}$ на $90^{ \circ}$; на $180^{ \circ}$;
б) момент внешних сил, удерживающий ось установки в вертикальном положении после того, как мотор повернет ось $BB^{ \prime}$ на $90^{ \circ}$.
Решение:
(a) Когда ось $BB^{ \prime}$ повернут на $90^{ \prime}$, платформа должна начать вращаться с угловой скоростью $\Sigma$, так что момент импульса остается постоянным. Вот
$(I + I_{0}) \Sigma = I_{0} \omega_{0}$ или, $\Sigma = \frac{I_{0} \omega_{0}}{I + I_{0}}$
Поэтому работа, выполняемая двигателем
$\frac{1}{2} (I + I_{0}) \Sigma^{2} = \frac{1}{2} \frac{I_{0}^{2} \omega_{0}^{2}}{ I + I_{0}}$
Если ось повернута на $180^{ \circ}$, угловая скорость сферы меняет знак. Таким образом, из сохранения углового момента,
$I \Sigma - I_{0} \omega_{0} = I_{0} \omega_{0}$
(Здесь - $I_{0} \omega_{0}$ - полный момент импульса сферы. Предположим, что угловая скорость сферы - $\omega_{0}$). Тогда
$\Sigma = 2 I_{0} \frac{ \omega_{0}}{I}$
И работа должна быть,
$\frac{1}{2} I \Sigma^{2} + \frac{1}{2} I_{0} \omega_{0}^{2} - \frac{1}{2} \omega_{0}^{2} = \frac{2I_{0}^{2} \omega_{0}^{2}}{I}$
(б) В случае (а) первая часть, вектор углового момента сферы прецессирует с угловой скоростью $\Sigma$. Таким образом, крутящий момент,
$I_{0} \omega_{0} \Sigma = \frac{I_{0}^{2} \omega_{0}^{2}}{I + I_{0}}$ необходим.
