Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3613
2017-06-03 
Человек массы $m_{1}$ стоит на краю горизонтального однородного диска массы $m_{2}$ и радиуса $R$, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол $\phi^{ \prime}$ относительно диска и остановился. В процессе движения скорость человека относительно диска зависела от времени по закону $v^{ \prime} (t)$. Пренебрегая размерами человека, найти:
а) угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека;
б) момент силы относительно оси вращения, с которой человек действовал на диск в процессе движения.
Решение:
(а) Пусть $z$ - ось вращения диска, а $\phi$ - его угол поворота в соответствии с правилом правого винта (рис.), ($\phi$ и $\phi^{ \prime}$ должны быть измерены в одном и том же смысле алгебраически). Поскольку $M_{z}$ Система (диск + человек) сохраняется и $M_{z(initial)} = 0$, имеем в любой момент,
$0 = \frac{m_{2}R^{2}}{2} \frac{d \phi}{dt} + m_{1} \left [ \left ( \frac{d \phi^{ \prime}}{dt} \right ) R + \left ( \frac{d \phi}{dt} \right ) R \right ]R$
или, $d \phi = \left [ - \frac{m_{1}}{m_{1} + (m_{2}/2)} \right ] d \phi^{ \prime}$
Интегрируя $\int_{0}^{ \phi } d \phi = - \int_{0}^{ \phi^{ \prime}} \left ( \frac{m_{1}}{ m_{1} + (m_{2} / 2)} \right ) d \phi^{ \prime}$
или, $\phi = - \left ( \frac{m_{1}}{ m_{1} + \frac{m_{2}}{2}} \right ) \phi^{ \prime}$ (1)
Это дает полный угол поворота диска.
(б) Из уравнения (1)
$\frac{d \phi}{ dt} = - \left ( \frac{m_{1}}{m_{1} + \frac{m_{2}}{2}} \right ) \frac{ d \phi^{ \prime}}{dt} = - \left ( \frac{m_{1}}{m_{1} + \frac{m_{2}}{2}} \right ) \frac{v^{ \prime} (t)}{R}$
Дифференцирование по времени
$\frac{d^{2} \phi }{dt^{2}} = - \left ( \frac{m_{1}}{m_{1} + \frac{m_{2}}{2}} \right ) \frac{1}{R} \frac{dv^{ \prime} (t)}{dt}$
Таким образом, искомый силовой момент из уравнения $N_{z} = I \beta_{z}$
$N_{z} = \frac{m_{2}R^{2}}{2} \frac{d^{2} \phi}{dt^{2}} = - \frac{m_{2}R^{2}}{2} \left ( \frac{m_{1}}{m_{1} + \frac{m_{2}}{2}} \right ) \frac{1}{R} \frac{dv^{ \prime}(t)}{dt}$
следовательно $N_{z} = - \frac{m_{1}m_{2}R}{2m_{1} + m_{2}} \frac{dv^{ \prime}(t)}{dt}$
Человек массы $m_{1}$ стоит на краю горизонтального однородного диска массы $m_{2}$ и радиуса $R$, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол $\phi^{ \prime}$ относительно диска и остановился. В процессе движения скорость человека относительно диска зависела от времени по закону $v^{ \prime} (t)$. Пренебрегая размерами человека, найти:
а) угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека;
б) момент силы относительно оси вращения, с которой человек действовал на диск в процессе движения.
Решение:
(а) Пусть $z$ - ось вращения диска, а $\phi$ - его угол поворота в соответствии с правилом правого винта (рис.), ($\phi$ и $\phi^{ \prime}$ должны быть измерены в одном и том же смысле алгебраически). Поскольку $M_{z}$ Система (диск + человек) сохраняется и $M_{z(initial)} = 0$, имеем в любой момент,
$0 = \frac{m_{2}R^{2}}{2} \frac{d \phi}{dt} + m_{1} \left [ \left ( \frac{d \phi^{ \prime}}{dt} \right ) R + \left ( \frac{d \phi}{dt} \right ) R \right ]R$
или, $d \phi = \left [ - \frac{m_{1}}{m_{1} + (m_{2}/2)} \right ] d \phi^{ \prime}$
Интегрируя $\int_{0}^{ \phi } d \phi = - \int_{0}^{ \phi^{ \prime}} \left ( \frac{m_{1}}{ m_{1} + (m_{2} / 2)} \right ) d \phi^{ \prime}$
или, $\phi = - \left ( \frac{m_{1}}{ m_{1} + \frac{m_{2}}{2}} \right ) \phi^{ \prime}$ (1)
Это дает полный угол поворота диска.
(б) Из уравнения (1)
$\frac{d \phi}{ dt} = - \left ( \frac{m_{1}}{m_{1} + \frac{m_{2}}{2}} \right ) \frac{ d \phi^{ \prime}}{dt} = - \left ( \frac{m_{1}}{m_{1} + \frac{m_{2}}{2}} \right ) \frac{v^{ \prime} (t)}{R}$
Дифференцирование по времени
$\frac{d^{2} \phi }{dt^{2}} = - \left ( \frac{m_{1}}{m_{1} + \frac{m_{2}}{2}} \right ) \frac{1}{R} \frac{dv^{ \prime} (t)}{dt}$
Таким образом, искомый силовой момент из уравнения $N_{z} = I \beta_{z}$
$N_{z} = \frac{m_{2}R^{2}}{2} \frac{d^{2} \phi}{dt^{2}} = - \frac{m_{2}R^{2}}{2} \left ( \frac{m_{1}}{m_{1} + \frac{m_{2}}{2}} \right ) \frac{1}{R} \frac{dv^{ \prime}(t)}{dt}$
следовательно $N_{z} = - \frac{m_{1}m_{2}R}{2m_{1} + m_{2}} \frac{dv^{ \prime}(t)}{dt}$
