Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3611
2017-06-03 
Вертикально расположенный однородный стержень массы $M$ и длины $l$ может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы $m$, в результате чего стержень отклонился на угол $\alpha$. Считая $m \ll M$, найти:
а) скорость летевшей пули;
б) приращение импульса системы «пуля — стержень» за время удара; какова причина изменения этого импульса;
в) на какое расстояние $x$ от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы «пуля — стержень» не изменился в процессе удара.
Решение:
(а) Ось вращения стержня сохраняет угловой момент системы. Таким образом, если скорость летающей пули равна $v$.
$mvl = \left ( ml^{2} + \frac{Ml^{2}}{3} \right ) \omega$
$\omega = \frac{mv}{ \left ( m + \frac{M}{3} \right ) l} \approx \frac{3mv}{Ml}$ as $m \ll M$ (1)
Теперь из закона сохранения механической энергии системы (стержня с пулей) в однородном поле тяжести
$\frac{1}{2} \left ( ml^{2} + \frac{Ml^{2}}{3} \right ) \omega^{2} = (M+m) g \frac{l}{2} (1 - \cos \alpha)$ (2)
[Потому что центр масс стержня поднимается на высоту $\frac{l}{2}(1 - \cos \alpha)$]
Решая (1) и (2), получаем
$v = \left ( \frac{M}{m} \right ) \sqrt{ \frac{2}{3} gl} \sin \frac{ \alpha}{2}$ и $\omega = \sqrt{ \frac{6g}{l}} \sin \frac{ \alpha}{2}$
(б) Считал $\Delta p = \left [ m( \omega l) + M \left ( \omega \frac{l}{2} \right ) \right ] - mv$
Где $\omega l$ - скорость пули, а $\omega \frac{l}{2}$ - равна скорости центра масс стержня после удара. Полагая значение $v$ и $\omega$, получим
$\Delta p \approx \frac{1}{2} mv = M \sqrt{ \frac{gl}{6}} \sin \frac{ \alpha}{2}$
Это вызвано реакцией на шарнире в верхнем конце.
(в) Пусть стержень начинает колебаться с угловой скоростью $\omega^{ \prime}$, в этом случае. Тогда, как в части (а)
$mvx = \left ( \frac{Ml^{2}}{3} + mx^{2} \right ) \omega^{ \prime}$ или $\omega^{ \prime} \approx \frac{3mvx}{Ml^{2}}$
Конечным импульсом является
$p_{f} = mx \omega^{ \prime} + \int_{0}^{l} y \omega^{ \prime} \frac{M}{l} dy \approx \frac{M}{2} \omega^{ \prime} l \approx \frac{3}{2} mv \frac{x}{l}$
Итак, $\Delta p = p_{f} - p_{i} \approx mv \left ( \frac{3x}{2l} - 1 \right )$
Это исчезает для $x \approx \frac{2}{3} l$
Вертикально расположенный однородный стержень массы $M$ и длины $l$ может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы $m$, в результате чего стержень отклонился на угол $\alpha$. Считая $m \ll M$, найти:
а) скорость летевшей пули;
б) приращение импульса системы «пуля — стержень» за время удара; какова причина изменения этого импульса;
в) на какое расстояние $x$ от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы «пуля — стержень» не изменился в процессе удара.
Решение:
(а) Ось вращения стержня сохраняет угловой момент системы. Таким образом, если скорость летающей пули равна $v$.
$mvl = \left ( ml^{2} + \frac{Ml^{2}}{3} \right ) \omega$
$\omega = \frac{mv}{ \left ( m + \frac{M}{3} \right ) l} \approx \frac{3mv}{Ml}$ as $m \ll M$ (1)
Теперь из закона сохранения механической энергии системы (стержня с пулей) в однородном поле тяжести
$\frac{1}{2} \left ( ml^{2} + \frac{Ml^{2}}{3} \right ) \omega^{2} = (M+m) g \frac{l}{2} (1 - \cos \alpha)$ (2)
[Потому что центр масс стержня поднимается на высоту $\frac{l}{2}(1 - \cos \alpha)$]
Решая (1) и (2), получаем
$v = \left ( \frac{M}{m} \right ) \sqrt{ \frac{2}{3} gl} \sin \frac{ \alpha}{2}$ и $\omega = \sqrt{ \frac{6g}{l}} \sin \frac{ \alpha}{2}$
(б) Считал $\Delta p = \left [ m( \omega l) + M \left ( \omega \frac{l}{2} \right ) \right ] - mv$
Где $\omega l$ - скорость пули, а $\omega \frac{l}{2}$ - равна скорости центра масс стержня после удара. Полагая значение $v$ и $\omega$, получим
$\Delta p \approx \frac{1}{2} mv = M \sqrt{ \frac{gl}{6}} \sin \frac{ \alpha}{2}$
Это вызвано реакцией на шарнире в верхнем конце.
(в) Пусть стержень начинает колебаться с угловой скоростью $\omega^{ \prime}$, в этом случае. Тогда, как в части (а)
$mvx = \left ( \frac{Ml^{2}}{3} + mx^{2} \right ) \omega^{ \prime}$ или $\omega^{ \prime} \approx \frac{3mvx}{Ml^{2}}$
Конечным импульсом является
$p_{f} = mx \omega^{ \prime} + \int_{0}^{l} y \omega^{ \prime} \frac{M}{l} dy \approx \frac{M}{2} \omega^{ \prime} l \approx \frac{3}{2} mv \frac{x}{l}$
Итак, $\Delta p = p_{f} - p_{i} \approx mv \left ( \frac{3x}{2l} - 1 \right )$
Это исчезает для $x \approx \frac{2}{3} l$
