Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3601
2017-06-03 
На внутренней стороне тонкого жесткого обруча радиуса $R$ прикреплено небольшое тело А, масса которого равна массе обруча. Последний катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что в моменты, когда тело А оказывается в нижнем положении, скорость центра обруча равна $v_{0}$ (рис.). При каких значениях $v_{0}$ обруч не будет подпрыгивать?
Решение:
Очевидно, что обруч будет подскакивать, когда небольшое тело А будет находиться на самой высокой точке обруча во время его движения. Пусть скорость центра масс обруча равно $v$ в этом положении. Трения нет, поэтому из закона сохранения механической энергии; $E_{1} = E_{2}$
или, $0 + \frac{1}{2} mv_{0}^{2} + \frac{1}{2} mR^{2} \left ( \frac{v_{0}}{R} \right )^{2} - mgR = \frac{1}{2} m (2v)^{2} + \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} mR^{2} \left ( \frac{v}{R} \right )^{2} + mgR$
или, $3v^{2} = v_{0}^{2} - 2gR$ (1)
Из уравнения $F_{n} = mw_{n}$ для тела A в конечном положении 2
$mg + N^{ \prime} = m \omega^{2} R = m \left ( \frac{v}{R} \right )^{2} R$ (2)
Поскольку обруч не имеет ускорения в вертикальном направлении, поэтому,
$N + N^{ \prime} = mg$ (3)
Из уравнений (2) и (3),
$N = 2mg - \frac{mv^{2}}{R}$ (4)
Поскольку обруч не отскакивает, $N \geq 0$ (5)
Итак, из уравнений (1), (4) и (5),
$\frac{8gR - v_{0}^{2}}{3R} \geq 0$ или $8gR \geq v_{0}^{2}$
Следовательно, $v_{0} \leq \sqrt{8gR}$
На внутренней стороне тонкого жесткого обруча радиуса $R$ прикреплено небольшое тело А, масса которого равна массе обруча. Последний катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что в моменты, когда тело А оказывается в нижнем положении, скорость центра обруча равна $v_{0}$ (рис.). При каких значениях $v_{0}$ обруч не будет подпрыгивать?
Решение:
Очевидно, что обруч будет подскакивать, когда небольшое тело А будет находиться на самой высокой точке обруча во время его движения. Пусть скорость центра масс обруча равно $v$ в этом положении. Трения нет, поэтому из закона сохранения механической энергии; $E_{1} = E_{2}$
или, $0 + \frac{1}{2} mv_{0}^{2} + \frac{1}{2} mR^{2} \left ( \frac{v_{0}}{R} \right )^{2} - mgR = \frac{1}{2} m (2v)^{2} + \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} mR^{2} \left ( \frac{v}{R} \right )^{2} + mgR$
или, $3v^{2} = v_{0}^{2} - 2gR$ (1)
Из уравнения $F_{n} = mw_{n}$ для тела A в конечном положении 2
$mg + N^{ \prime} = m \omega^{2} R = m \left ( \frac{v}{R} \right )^{2} R$ (2)
Поскольку обруч не имеет ускорения в вертикальном направлении, поэтому,
$N + N^{ \prime} = mg$ (3)
Из уравнений (2) и (3),
$N = 2mg - \frac{mv^{2}}{R}$ (4)
Поскольку обруч не отскакивает, $N \geq 0$ (5)
Итак, из уравнений (1), (4) и (5),
$\frac{8gR - v_{0}^{2}}{3R} \geq 0$ или $8gR \geq v_{0}^{2}$
Следовательно, $v_{0} \leq \sqrt{8gR}$
