Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3600
2017-06-03 
Сплошной однородный цилиндр радиуса $R = 15 см$ катится по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с горизонтом (рис.). Найти максимальное значение скорости $v_{0}$, при котором цилиндр перейдет на наклонную плоскость еще без скачка. Считать, что скольжения нет.
Решение:
Поскольку цилиндр движется без скольжения, центр цилиндра вращается вокруг точки O, проходя через общий край плоскостей. Другими словами, точка O становится опорой мгновенной оси вращения цилиндра.
В любой момент времени, движение скорости центра масс $v_{1}$, когда угол (показанный на рисунке) равен $\beta$, имеем
$\frac{mv_{1}^{2}}{R} = mg \cos \beta - N$,
Где $N$ - нормальная реакция края
или, $v_{1}^{2} = gR \cos \beta - \frac{NR}{m}$ (1)
Из закона сохранения энергии
$\frac{1}{2} I_{0} \frac{v_{1}^{2}}{R^{2}} - \frac{1}{2} I_{0} \frac{v_{0}^{2}}{R^{2}} = mgR (1 - \cos \beta)$
Но $I_{0} = \frac{mR^{2}}{2} + mR^{2} = \frac{3}{2} mR^{2}$,
(Из теоремы о параллельной оси)
Таким образом, $v_{1}^{2} = v_{0}^{2} + \frac{4}{3} gR (1 - \cos \beta)$ (2)
Из (1) и (2)
$v_{0}^{2} = \frac{gR}{3} (7 \cos \beta - 4) - \frac{NR}{m}$
Угол $\beta$ в этом уравнении явно меньше или равен $\alpha$, поэтому положим $\beta = \alpha$, получим
$v_{0}^{2} = \frac{gR}{3} (7 \cos \alpha - 4) - \frac{N_{0}R}{M}$
Где $N_{0}$ - соответствующая реакция. Заметим, что $N \geq N_{0}$. Во время этого поворота не происходит прыжка, если $N_{0} > 0$. Следовательно, $v_{0}$ должно быть меньше
$v_{max} = \sqrt{ \frac{gR}{3} (7 \cos \alpha - 4)}$
Сплошной однородный цилиндр радиуса $R = 15 см$ катится по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с горизонтом (рис.). Найти максимальное значение скорости $v_{0}$, при котором цилиндр перейдет на наклонную плоскость еще без скачка. Считать, что скольжения нет.
Решение:
Поскольку цилиндр движется без скольжения, центр цилиндра вращается вокруг точки O, проходя через общий край плоскостей. Другими словами, точка O становится опорой мгновенной оси вращения цилиндра.
В любой момент времени, движение скорости центра масс $v_{1}$, когда угол (показанный на рисунке) равен $\beta$, имеем
$\frac{mv_{1}^{2}}{R} = mg \cos \beta - N$,
Где $N$ - нормальная реакция края
или, $v_{1}^{2} = gR \cos \beta - \frac{NR}{m}$ (1)
Из закона сохранения энергии
$\frac{1}{2} I_{0} \frac{v_{1}^{2}}{R^{2}} - \frac{1}{2} I_{0} \frac{v_{0}^{2}}{R^{2}} = mgR (1 - \cos \beta)$
Но $I_{0} = \frac{mR^{2}}{2} + mR^{2} = \frac{3}{2} mR^{2}$,
(Из теоремы о параллельной оси)
Таким образом, $v_{1}^{2} = v_{0}^{2} + \frac{4}{3} gR (1 - \cos \beta)$ (2)
Из (1) и (2)
$v_{0}^{2} = \frac{gR}{3} (7 \cos \beta - 4) - \frac{NR}{m}$
Угол $\beta$ в этом уравнении явно меньше или равен $\alpha$, поэтому положим $\beta = \alpha$, получим
$v_{0}^{2} = \frac{gR}{3} (7 \cos \alpha - 4) - \frac{N_{0}R}{M}$
Где $N_{0}$ - соответствующая реакция. Заметим, что $N \geq N_{0}$. Во время этого поворота не происходит прыжка, если $N_{0} > 0$. Следовательно, $v_{0}$ должно быть меньше
$v_{max} = \sqrt{ \frac{gR}{3} (7 \cos \alpha - 4)}$
