Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3598
2017-06-03 
Сплошному однородному цилиндру массы $m$ и радиуса $R$ сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью $\omega_{0}$, затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен $k$. Найти:
а) время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением;
б) полную работу силы трения скольжения, действующей на цилиндр.
Решение:
(а) Опишем силы, действующие на цилиндр и их точку приложения для цилиндра, и обозначим положительное направление $x$ и $\phi$, как показано на рисунке. Из уравнений для плоского движения твердого тела $F_{x} = mw_{cx}$ и $N_{cz} = I_{c} \beta_{z}$:
$kmg = mw_{cx}$ или $w_{cx} = kg$ (1)
$ - kmg R = \frac{mR^{2}}{2} \beta_{z}$ или $\beta_{z} = - 2 \frac{kg}{R}$ (2)
Пусть цилиндр начинает вращение при $t = t_{0}$ после отпускания на горизонтальном полу при $t = 0$. Из углового кинематического уравнения
$\omega_{z} = \omega_{0z} + \beta_{z} t$,
или $\omega = \omega_{0} - 2 \frac{kg}{R} t$ (3)
Из уравнения линейной кинематики $v_{cx} = v_{0cx} + w_{cx} t$
Или $v_{c} = 0 + kg t_{0}$ (4)
Но в момент $t = t_{0}$, когда начинается вращение $v_{c} = \omega R$
Итак, $kg t_{0} = \left ( \omega_{0} - 2 \frac{kg}{R} t_{0} \right ) R$
Таким образом $t_{0} = \frac{ \omega_{0}R}{3kg}$
(б) Когда цилиндр отпускают, скорость до начала вращения на плоскости в точке контакта движение равно $\frac{1}{2} w_{c} t_{0}^{2}$ в направлениях вперед, но есть и обратное перемещение точки соприкосновения величиной $( \omega_{0} \tau_{0} - \frac{1}{2} \beta t_{0}^{2})R$. Результирующее смещение в обратном направлении из-за скольжения. Общая работа тогда,
$A_{fr} = kmg \left [ \frac{1}{2} w_{c} t_{0}^{2} - ( \omega_{0} t_{0} + \frac{1}{2} \beta t_{0}^{2} ) R \right ] = kmg \left [ \frac{1}{2} kg t_{0}^{2} - \frac{1}{2} \left ( - \frac{2kg}{R} \right ) t_{0}^{2} R - \omega_{0} t_{0} R \right ] = kmg \frac{ \omega_{0} R}{3kg} \left [ \frac{ \omega_{0} R}{6} + \frac{ \omega_{0}R}{3} - \omega_{0} R \right ] = - \frac{m \omega_{0}^{2}R^{2}}{6}$
Тот же результат можно получить и по теореме о работа-энергии, $A_{fr} = \Delta T$.
Сплошному однородному цилиндру массы $m$ и радиуса $R$ сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью $\omega_{0}$, затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен $k$. Найти:
а) время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением;
б) полную работу силы трения скольжения, действующей на цилиндр.
Решение:
(а) Опишем силы, действующие на цилиндр и их точку приложения для цилиндра, и обозначим положительное направление $x$ и $\phi$, как показано на рисунке. Из уравнений для плоского движения твердого тела $F_{x} = mw_{cx}$ и $N_{cz} = I_{c} \beta_{z}$:
$kmg = mw_{cx}$ или $w_{cx} = kg$ (1)
$ - kmg R = \frac{mR^{2}}{2} \beta_{z}$ или $\beta_{z} = - 2 \frac{kg}{R}$ (2)
Пусть цилиндр начинает вращение при $t = t_{0}$ после отпускания на горизонтальном полу при $t = 0$. Из углового кинематического уравнения
$\omega_{z} = \omega_{0z} + \beta_{z} t$,
или $\omega = \omega_{0} - 2 \frac{kg}{R} t$ (3)
Из уравнения линейной кинематики $v_{cx} = v_{0cx} + w_{cx} t$
Или $v_{c} = 0 + kg t_{0}$ (4)
Но в момент $t = t_{0}$, когда начинается вращение $v_{c} = \omega R$
Итак, $kg t_{0} = \left ( \omega_{0} - 2 \frac{kg}{R} t_{0} \right ) R$
Таким образом $t_{0} = \frac{ \omega_{0}R}{3kg}$
(б) Когда цилиндр отпускают, скорость до начала вращения на плоскости в точке контакта движение равно $\frac{1}{2} w_{c} t_{0}^{2}$ в направлениях вперед, но есть и обратное перемещение точки соприкосновения величиной $( \omega_{0} \tau_{0} - \frac{1}{2} \beta t_{0}^{2})R$. Результирующее смещение в обратном направлении из-за скольжения. Общая работа тогда,
$A_{fr} = kmg \left [ \frac{1}{2} w_{c} t_{0}^{2} - ( \omega_{0} t_{0} + \frac{1}{2} \beta t_{0}^{2} ) R \right ] = kmg \left [ \frac{1}{2} kg t_{0}^{2} - \frac{1}{2} \left ( - \frac{2kg}{R} \right ) t_{0}^{2} R - \omega_{0} t_{0} R \right ] = kmg \frac{ \omega_{0} R}{3kg} \left [ \frac{ \omega_{0} R}{6} + \frac{ \omega_{0}R}{3} - \omega_{0} R \right ] = - \frac{m \omega_{0}^{2}R^{2}}{6}$
Тот же результат можно получить и по теореме о работа-энергии, $A_{fr} = \Delta T$.
