ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-06-03   
Сплошной однородный цилиндр А массы $m_{1}$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена на подставке В массы $m_{2}$ (рис.). На цилиндр плотно намотана легкая нить, к концу К которой приложили постоянную горизонтальную силу $F$. Трения между подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найти:
а) ускорение точки К;
б) кинетическую энергию этой системы через $t$ секунд после начала движения.



Решение:



(a) Для поступательного движения системы $(m_{1} + m_{2})$, из уравнения: $F_{x} = mw_{cx}$

$F = (m_{1} + m_{2}) w_{c} $ или, $w_{c} = F/(m_{1} + m_{2}) $

Для вращательного движения цилиндра из уравнения: $N_{cx} = I_{c} \beta_{z}$

$Fr = \frac{m_{1}r^{2}}{2} \beta$ или $\beta r = \frac{2F}{m_{1}}$ (2)

Но $w_{K} = w_{c} + \beta r$, итак

$w_{K} = \frac{F}{m_{1} + m_{2}} + \frac{2F}{m_{1}} = \frac{F(3m_{1} + 2m_{2})}{m_{1}(m_{1} + m_{2})}$ (3)

(б) Из уравнения приращения механической энергии: $\Delta T = A_{ext}$
Здесь $\Delta T = T(t)$, поэтому $T(t) = A_{ext}$

Поскольку сила $F$ постоянна и направлен вдоль оси х, искомая работа выполнена.

(Где $x$ - смещение точки приложения силы $F$ в течение временного интервала $t$)

$= F \left ( \frac{1}{2} w_{K} t^{2} \right ) = \frac{F^{2}t^{2} (3m_{1} + 2m_{2})}{2m_{1} (m_{1} + m_{2})} = T(t)$ (с использованием формулы (3)

Альтернативный вариант: $T(t) = T_{translation} (t) + T_{rotation}(t) = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) \left ( \frac{Ft}{(m_{1} + m_{2})} \right )^{2} + \frac{1}{2} \frac{m_{1}r^{2}}{2} \left ( \frac{2Ft}{m_{1}r} \right )^{2} = \frac{F^{2}t^{2} (3m_{1} + 2m_{2})}{2m_{1}(m_{1} + m_{2})}$