Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3593
2017-06-03 
На горизонтальной шероховатой плоскости лежит катушка ниток массы $m$. Ее момент инерции относительно собственной оси $I = \beta mR^{2}$, где $\beta$ — числовой коэффициент, $R$ — внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен $r$. Катушку без скольжения начали тянуть за нить постоянной силой $\vec{F}$, направленной под углом $\alpha$ к горизонту (рис.). Найти:
а) модуль и направление вектора ускорения оси катушки;
б) работу силы $\vec{F}$ за первые $t$ секунд после начала движения.
Решение:
(а) Выберем положительное направление угла поворота $\phi$, так что $w_{cx}$ и $\beta_{z}$ имеют одинаковые знаки (рис.). Уравнение движения $F_{x} = mw_{cx}$ и $N_{cz} = I_{c} \beta_{z}$ дают:
$F \cos \alpha - fr = mw_{cx} ; fr R - Fr = I_{c} \beta_{z} = \gamma mR^{2} \beta_{z}$
В отсутствие скольжения катушки $w_{cx} = \beta_{z} R$
Из трех уравнений $w_{cx} = w_{c} = \frac{F [ \cos \alpha - (r/R)]}{m(1 + \gamma)}$, где $ \cos \alpha > \frac{r}{R}$ (1)
(б) Поскольку трение покоя $(fr)$ не работает на катушке, из уравнения приращения механической энергии $A_{ext} = \Delta T$.
$A_{ext} = \frac{1}{2} mv_{c}^{2} + \frac{1}{2} \gamma mR^{2} \frac{v_{c}^{2}}{R} = \frac{1}{2} m (1 + \gamma) v_{c}^{2} = \frac{1}{2} m ( 1 + \gamma) 2 w_{c} x = \frac{1}{2} m (1 + \gamma) 2 w_{c} \left ( \frac{1}{2} w_{c} t^{2} \right ) = \frac{ F^{2} \left ( \cos \alpha - \frac{r}{R} \right )^{2} t^{2}}{ 2m(1 + \gamma)}$
Заметим, что при $\cos \alpha = r/R$, нет вращения и для $\cos \alpha < r/R, w_{cx} < 0$, т.е. катушка будет двигаться к отрицательной оси x и вращаться в направлении против часовой стрелки.
На горизонтальной шероховатой плоскости лежит катушка ниток массы $m$. Ее момент инерции относительно собственной оси $I = \beta mR^{2}$, где $\beta$ — числовой коэффициент, $R$ — внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен $r$. Катушку без скольжения начали тянуть за нить постоянной силой $\vec{F}$, направленной под углом $\alpha$ к горизонту (рис.). Найти:
а) модуль и направление вектора ускорения оси катушки;
б) работу силы $\vec{F}$ за первые $t$ секунд после начала движения.
Решение:
(а) Выберем положительное направление угла поворота $\phi$, так что $w_{cx}$ и $\beta_{z}$ имеют одинаковые знаки (рис.). Уравнение движения $F_{x} = mw_{cx}$ и $N_{cz} = I_{c} \beta_{z}$ дают:
$F \cos \alpha - fr = mw_{cx} ; fr R - Fr = I_{c} \beta_{z} = \gamma mR^{2} \beta_{z}$
В отсутствие скольжения катушки $w_{cx} = \beta_{z} R$
Из трех уравнений $w_{cx} = w_{c} = \frac{F [ \cos \alpha - (r/R)]}{m(1 + \gamma)}$, где $ \cos \alpha > \frac{r}{R}$ (1)
(б) Поскольку трение покоя $(fr)$ не работает на катушке, из уравнения приращения механической энергии $A_{ext} = \Delta T$.
$A_{ext} = \frac{1}{2} mv_{c}^{2} + \frac{1}{2} \gamma mR^{2} \frac{v_{c}^{2}}{R} = \frac{1}{2} m (1 + \gamma) v_{c}^{2} = \frac{1}{2} m ( 1 + \gamma) 2 w_{c} x = \frac{1}{2} m (1 + \gamma) 2 w_{c} \left ( \frac{1}{2} w_{c} t^{2} \right ) = \frac{ F^{2} \left ( \cos \alpha - \frac{r}{R} \right )^{2} t^{2}}{ 2m(1 + \gamma)}$
Заметим, что при $\cos \alpha = r/R$, нет вращения и для $\cos \alpha < r/R, w_{cx} < 0$, т.е. катушка будет двигаться к отрицательной оси x и вращаться в направлении против часовой стрелки.
