Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3588
2017-06-03 
Однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Найти:
а) значения коэффициента трения, при которых скольжения не будет;
б) кинетическую энергию шара через $t$ секунд после начала движения.
Решение:
(а) Укажем силы, действующие на сферу и точки их приложения. Выберем положительное направление $x$ и $\phi$ (угол поворота) вдоль уклона в направлении вниз и $\vec{ \omega}$ (для ненаправленного вращения) соответственно. Теперь из уравнений динамики твердого тела, т.е. $F_{x} = mw_{cx}$ и $N_{cz} = I_{c} \beta_{z}$, получим :
$mg \sin \alpha - f_{r} = mw$ (1)
а также $fr R = \frac{2}{5} mR^{2} \beta$ (2)
Но $fr \leq kmg \cos \alpha$ (3)
Кроме того, отсутствие проскальзывания обеспечивает кинематическую связь между ускорениями:
$w = \beta R$ (4)
Одновременное решение всех четырех уравнений дают:
$k \cos \alpha \geq \frac{2}{7} \sin \alpha$, или $k \geq \frac{2}{7} tg \alpha$
(б) Решая уравнения (1) и (2) [части (а)], получаем
$w_{c} = \frac{5}{7} g \sin \alpha$.
Поскольку сфера начинает двигаться при $t = 0$ вдоль положительной оси $x$, для скатывания
$v_{c}(t) = w_{c} t = \frac{5}{7} g \sin \alpha t$ (5)
Следовательно, искомая кинетическая энергия
$T = \frac{1}{2} mv_{v}^{2} + \frac{1}{2} \frac{2}{5} mR^{2} \omega^{2} = \frac{7}{10} m v_{c}^{2}$ (as $\omega = v_{c}/R$) $= \frac{7}{10} m \left ( \frac{5}{7} g \sin \alpha t \right )^{2} = \frac{5}{14} mg^{2} \sin^{2} \alpha t^{2}$
Однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Найти:
а) значения коэффициента трения, при которых скольжения не будет;
б) кинетическую энергию шара через $t$ секунд после начала движения.
Решение:
(а) Укажем силы, действующие на сферу и точки их приложения. Выберем положительное направление $x$ и $\phi$ (угол поворота) вдоль уклона в направлении вниз и $\vec{ \omega}$ (для ненаправленного вращения) соответственно. Теперь из уравнений динамики твердого тела, т.е. $F_{x} = mw_{cx}$ и $N_{cz} = I_{c} \beta_{z}$, получим :
$mg \sin \alpha - f_{r} = mw$ (1)
а также $fr R = \frac{2}{5} mR^{2} \beta$ (2)
Но $fr \leq kmg \cos \alpha$ (3)
Кроме того, отсутствие проскальзывания обеспечивает кинематическую связь между ускорениями:
$w = \beta R$ (4)
Одновременное решение всех четырех уравнений дают:
$k \cos \alpha \geq \frac{2}{7} \sin \alpha$, или $k \geq \frac{2}{7} tg \alpha$
(б) Решая уравнения (1) и (2) [части (а)], получаем
$w_{c} = \frac{5}{7} g \sin \alpha$.
Поскольку сфера начинает двигаться при $t = 0$ вдоль положительной оси $x$, для скатывания
$v_{c}(t) = w_{c} t = \frac{5}{7} g \sin \alpha t$ (5)
Следовательно, искомая кинетическая энергия
$T = \frac{1}{2} mv_{v}^{2} + \frac{1}{2} \frac{2}{5} mR^{2} \omega^{2} = \frac{7}{10} m v_{c}^{2}$ (as $\omega = v_{c}/R$) $= \frac{7}{10} m \left ( \frac{5}{7} g \sin \alpha t \right )^{2} = \frac{5}{14} mg^{2} \sin^{2} \alpha t^{2}$
