ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-06-03   
На однородный сплошной цилиндр массы $M$ и радиуса $R$ намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы $m$ (рис.). В момент $t = 0$ система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени:
а) угловой скорости цилиндра;
б) кинетической энергии всей системы.



Решение:


(a) Результирующая сила, действующая на систему (цилиндр $M$ + тело $m$), представляет собой массу тела $m$ в однородном гравитационном поле, которое является постоянным. Таким образом, начальное ускорение тела $m$ также является постоянным.

Из сохранения механической энергии указанной системы в однородном поле силы тяжести в момент времени $t = \Delta t : \Delta T + \Delta U = 0$

или $\frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} \frac{MR^{2}}{2} \omega^{2} - mg \Delta h = 0$

или, $\frac{1}{4} (2m + M) v^{2} - mg \Delta h = 0$ [при $v = \omega R$] (1)

Но $v^{2} = 2 w \Delta h$

Следовательно, используя его в уравнении (1), получаем

$\frac{1}{4} (2m+M) 2 w \Delta h - mg \Delta h = 0$ или $w = \frac{2mg}{(2m + M)}$

Из кинематического соотношения, $\beta = \frac{ w}{R} = \frac{2mg}{(2m+M)R}$

Таким образом, искомая угловая скорость цилиндра

$\omega (t) = \beta t = \frac{2mg}{(2m + M)R} t = \frac{gt}{(1 + M/2m) R}$

(б) Искомая кинетическая энергия.

$T(t) = \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} \frac{Ml^{2}}{2} \omega^{2} = \frac{1}{4} (2m + M)R^{2} \omega^{2}$