Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3579
2017-06-03 
Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы $m$ и радиуса $R$ относительно оси, проходящей через его центр.
Решение:
Момент инерции заштрихованной части, вокруг оси, проходящей через его центр,
$I = \frac{2}{5} \left ( \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho \right ) R^{2} - \frac{2}{5} \left ( \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho \right ) r^{3} = \frac{2}{5} \frac{4}{3} \pi \rho (R^{5} - r^{5})$
Тогда, если $R = r + dr$, заштрихованная часть становится оболочкой, которая является необходимой формой для вычисления момента инерции.
Итак $I = \frac{2}{5} - \frac{4}{3} \pi \rho \left \{ (r + dr)^{5} - r^{5} \right \} = \frac{2}{5} \frac{4}{3} \pi \rho ( r^{5} + 5r^{4} dr + \cdots - r^{5})$
Пренебрежение более высокими степенями.
$= \frac{2}{3} (4 \pi r^{2} dr \rho ) r^{2} = \frac{2}{3} mr^{2}$
Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы $m$ и радиуса $R$ относительно оси, проходящей через его центр.
Решение:
Момент инерции заштрихованной части, вокруг оси, проходящей через его центр,
$I = \frac{2}{5} \left ( \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho \right ) R^{2} - \frac{2}{5} \left ( \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho \right ) r^{3} = \frac{2}{5} \frac{4}{3} \pi \rho (R^{5} - r^{5})$
Тогда, если $R = r + dr$, заштрихованная часть становится оболочкой, которая является необходимой формой для вычисления момента инерции.
Итак $I = \frac{2}{5} - \frac{4}{3} \pi \rho \left \{ (r + dr)^{5} - r^{5} \right \} = \frac{2}{5} \frac{4}{3} \pi \rho ( r^{5} + 5r^{4} dr + \cdots - r^{5})$
Пренебрежение более высокими степенями.
$= \frac{2}{3} (4 \pi r^{2} dr \rho ) r^{2} = \frac{2}{3} mr^{2}$
