Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3578
2017-06-03 
Однородный диск радиуса $R = 20 см$ имеет круглый вырез, как показано на рис.. Масса оставшейся (заштрихованной) части диска $m = 7,3 кг$. Найти момент инерции такого диска относительно оси, проходящей через его. центр инерции и перпендикулярной к плоскости диска.
Решение:
Для простоты воспользуемся математическим трюком. Мы рассматриваем часть данного диска как наложение двух полных дисков (без отверстий), одну из положительной плотности и радиуса $R$ и другую отрицательную плотность, но с одинаковыми величинами и радиусами $R / 2$.
Поскольку (площадь) $\alpha$ (масса), соответствующие массы рассматриваемых дисков равны $(4m / 3)$ и $(- m/3)$ соответственно, и эти массы можно представить, как расположенные в их соответствующих центрах масс. Возьмем точку O как начало координат, а ось x - вправо. Очевидно, центр масс заштрихованного положения данной формы лежит на оси х. Следовательно, центр масс (C) заштрихованной части дается формулой
$x_{c} = \frac{ (-m/3)(-R/3) + (4m/3)}{ (-m/3) + 4m/3} = \frac{R}{6}$
Таким образом, центр масс фигуры находится на расстоянии $R/6$ от точки O к оси x
Используя теорему о параллельной оси и учитывая, что момент инерции полного однородного круга радиуса $m_{0}$ и радиуса $r_{0}$ равен $\frac{1}{2} m_{0}r_{0}^{2}$. Момент инерции небольшого диска массы ($ - m/3$) и радиус $R/2$ вокруг оси, проходящей через точку C и перпендикулярной плоскости диска
$I_{2C} = \frac{1}{2} \left ( - \frac{m}{3} \right ) \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} + \left ( - \frac{m}{3} \right ) \left ( \frac{R}{2} + \frac{R}{6} \right )^{2} = - \frac{mR^{2}}{24} - \frac{4}{24} mR^{2}$
По аналогии $I_{1C} = \frac{1}{2} \left ( \frac{4m}{3} \right ) R^{2} + \left ( \frac{4m}{3} \right ) \left ( \frac{R}{6} \right )^{2} = \frac{2}{3} mR^{2} + \frac{mR^{2}}{27}$
Таким образом, искомый момент инерции,
$I_{C} = I_{1C} + I_{2C} = \frac{15}{24} mR^{2} - \frac{3}{27} mR^{2} = \frac{37}{72} mR^{2}$
Однородный диск радиуса $R = 20 см$ имеет круглый вырез, как показано на рис.. Масса оставшейся (заштрихованной) части диска $m = 7,3 кг$. Найти момент инерции такого диска относительно оси, проходящей через его. центр инерции и перпендикулярной к плоскости диска.
Решение:
Для простоты воспользуемся математическим трюком. Мы рассматриваем часть данного диска как наложение двух полных дисков (без отверстий), одну из положительной плотности и радиуса $R$ и другую отрицательную плотность, но с одинаковыми величинами и радиусами $R / 2$.
Поскольку (площадь) $\alpha$ (масса), соответствующие массы рассматриваемых дисков равны $(4m / 3)$ и $(- m/3)$ соответственно, и эти массы можно представить, как расположенные в их соответствующих центрах масс. Возьмем точку O как начало координат, а ось x - вправо. Очевидно, центр масс заштрихованного положения данной формы лежит на оси х. Следовательно, центр масс (C) заштрихованной части дается формулой
$x_{c} = \frac{ (-m/3)(-R/3) + (4m/3)}{ (-m/3) + 4m/3} = \frac{R}{6}$
Таким образом, центр масс фигуры находится на расстоянии $R/6$ от точки O к оси x
Используя теорему о параллельной оси и учитывая, что момент инерции полного однородного круга радиуса $m_{0}$ и радиуса $r_{0}$ равен $\frac{1}{2} m_{0}r_{0}^{2}$. Момент инерции небольшого диска массы ($ - m/3$) и радиус $R/2$ вокруг оси, проходящей через точку C и перпендикулярной плоскости диска
$I_{2C} = \frac{1}{2} \left ( - \frac{m}{3} \right ) \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} + \left ( - \frac{m}{3} \right ) \left ( \frac{R}{2} + \frac{R}{6} \right )^{2} = - \frac{mR^{2}}{24} - \frac{4}{24} mR^{2}$
По аналогии $I_{1C} = \frac{1}{2} \left ( \frac{4m}{3} \right ) R^{2} + \left ( \frac{4m}{3} \right ) \left ( \frac{R}{6} \right )^{2} = \frac{2}{3} mR^{2} + \frac{mR^{2}}{27}$
Таким образом, искомый момент инерции,
$I_{C} = I_{1C} + I_{2C} = \frac{15}{24} mR^{2} - \frac{3}{27} mR^{2} = \frac{37}{72} mR^{2}$
