Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3577
2017-06-03 
Показать, что для тонкой пластинки произвольной формы имеется следующая связь между моментами инерции: $I_{1} + I_{2} = I_{3}$, где 1, 2, 3 — три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через одну точку, причем оси 1 и 2 лежат в плоскости пластинки. Используя эту связь, найти момент инерции тонкого круглого однородного диска радиуса $R$ и массы $m$ относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров.
Решение:
(a) Рассмотрим пластинку произвольной формы и обозначим через 1,2 и 3 три оси, совпадающие с осью x, y и z, а плоскость пластинки - плоскостью x - y.
Теперь момент инерции точечной массы около
x - ось, $dI_{x} = dm y^{2}$
Таким образом, момент инерции пластинки вокруг этой оси $I_{x} = \int dm y^{2}$
Аналогично, $I_{y} = \int dm x^{2}$
и $I_{z} = \int dm r^{2} = \int dm (x^{2} + y^{2})$ as $r = \sqrt{ x^{2} + y^{2}}$
Таким образом, $I_{z} = I_{x} + I_{y}$ or $I_{3} = I_{1} + I_{2}$
(б) Возьмем плоскость диска как плоскость x-y и начало координат в центре диска (рис.). Из симметрии $I_{x} = I_{y}$. Рассмотрим кольцевой элемент радиуса $r$ и толщину $dr$, тогда момент инерции кольцевого элемента вокруг оси y.
$dI_{z} = dmr^{2} = \frac{m}{ \pi R^{2}} (2 \pi rdr) r^{2}$
Таким образом, момент инерции диска вокруг оси z
$I_{z} = \frac{2m}{R^{2}} \int_{0}^{R} r^{3} dr = \frac{mR^{2}}{2}$
Но, имея, $I_{z} = I_{x} + I_{y} = 2I_{x}$
Таким образом $I_{x} = \frac{I_{z}}{2} = \frac{mR^{2}}{4}$
Показать, что для тонкой пластинки произвольной формы имеется следующая связь между моментами инерции: $I_{1} + I_{2} = I_{3}$, где 1, 2, 3 — три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через одну точку, причем оси 1 и 2 лежат в плоскости пластинки. Используя эту связь, найти момент инерции тонкого круглого однородного диска радиуса $R$ и массы $m$ относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров.
Решение:
(a) Рассмотрим пластинку произвольной формы и обозначим через 1,2 и 3 три оси, совпадающие с осью x, y и z, а плоскость пластинки - плоскостью x - y.
Теперь момент инерции точечной массы около
x - ось, $dI_{x} = dm y^{2}$
Таким образом, момент инерции пластинки вокруг этой оси $I_{x} = \int dm y^{2}$
Аналогично, $I_{y} = \int dm x^{2}$
и $I_{z} = \int dm r^{2} = \int dm (x^{2} + y^{2})$ as $r = \sqrt{ x^{2} + y^{2}}$
Таким образом, $I_{z} = I_{x} + I_{y}$ or $I_{3} = I_{1} + I_{2}$
(б) Возьмем плоскость диска как плоскость x-y и начало координат в центре диска (рис.). Из симметрии $I_{x} = I_{y}$. Рассмотрим кольцевой элемент радиуса $r$ и толщину $dr$, тогда момент инерции кольцевого элемента вокруг оси y.
$dI_{z} = dmr^{2} = \frac{m}{ \pi R^{2}} (2 \pi rdr) r^{2}$
Таким образом, момент инерции диска вокруг оси z
$I_{z} = \frac{2m}{R^{2}} \int_{0}^{R} r^{3} dr = \frac{mR^{2}}{2}$
Но, имея, $I_{z} = I_{x} + I_{y} = 2I_{x}$
Таким образом $I_{x} = \frac{I_{z}}{2} = \frac{mR^{2}}{4}$
