Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3576
2017-06-03 
Вычислить момент инерции:
а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина $b = 2,0 мм$ и радиус $R = 100 мм$;
б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса $m$ и радиус его основания $R$.
Решение:
(а) Рассмотрим элементарный диск толщиной $dx$. Момент инерции этого элемента вокруг оси $z$, проходящей через его центр масс.
$dI_{z} = \frac{(dm)R^{2}}{2} = \rho S dx \frac{R^{2}}{2}$
где $\rho =$ плотность материала пластины и $S =$ площадь поперечного сечения пластины. Таким образом, искомый момент инерции
$I_{z} = \frac{ \rho SR^{2}}{2} \int_{0}^{b} dx = \frac{R^{2}}{2} \rho Sb = \frac{ \pi}{2} \rho b R^{4}$ (as $S = \pi R^{2}$ ) Подставив все значения, $I_{z} = 2 гм \cdot м^{2}$
(б) Рассмотрим диск элемента радиуса $r$ и толщину $dx$ на расстоянии $x$ от точки 0. Тогда $r = x tg \alpha$ и объем диска
$= \pi x^{2} tg^{2} \alpha dx$
Следовательно, его масса $dm = \pi x^{2} tg \alpha dx \cdot \rho$ (где $\rho = $ Плотность конуса $= m / \frac{1}{3} \pi R^{2} h$ )
Момент инерции этого элемента, вокруг оси OA,
$dI = dm \frac{r^{2}}{2} = ( \pi x^{2} tg^{2} \alpha dx ) \frac{x^{2} tg^{2} \alpha}{2} = \frac{ \pi \rho}{2} x^{4} tg^{2} \alpha dx$
Таким образом, искомый момент инерции $I = \frac{ \pi \rho}{2} tg^{4} \alpha \int_{0}^{h} x^{4} dx = \frac{ \pi \rho R^{4} \cdot h^{5}}{10h^{4}}$ (Как $tg \alpha = \frac{R}{h}$)
следовательно $I = \frac{3m R^{2}}{10}$ ( подставляя $\rho = \frac{3m}{ \pi R^{2} h}$ )
Вычислить момент инерции:
а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина $b = 2,0 мм$ и радиус $R = 100 мм$;
б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса $m$ и радиус его основания $R$.
Решение:
(а) Рассмотрим элементарный диск толщиной $dx$. Момент инерции этого элемента вокруг оси $z$, проходящей через его центр масс.
$dI_{z} = \frac{(dm)R^{2}}{2} = \rho S dx \frac{R^{2}}{2}$
где $\rho =$ плотность материала пластины и $S =$ площадь поперечного сечения пластины. Таким образом, искомый момент инерции
$I_{z} = \frac{ \rho SR^{2}}{2} \int_{0}^{b} dx = \frac{R^{2}}{2} \rho Sb = \frac{ \pi}{2} \rho b R^{4}$ (as $S = \pi R^{2}$ ) Подставив все значения, $I_{z} = 2 гм \cdot м^{2}$
(б) Рассмотрим диск элемента радиуса $r$ и толщину $dx$ на расстоянии $x$ от точки 0. Тогда $r = x tg \alpha$ и объем диска
$= \pi x^{2} tg^{2} \alpha dx$
Следовательно, его масса $dm = \pi x^{2} tg \alpha dx \cdot \rho$ (где $\rho = $ Плотность конуса $= m / \frac{1}{3} \pi R^{2} h$ )
Момент инерции этого элемента, вокруг оси OA,
$dI = dm \frac{r^{2}}{2} = ( \pi x^{2} tg^{2} \alpha dx ) \frac{x^{2} tg^{2} \alpha}{2} = \frac{ \pi \rho}{2} x^{4} tg^{2} \alpha dx$
Таким образом, искомый момент инерции $I = \frac{ \pi \rho}{2} tg^{4} \alpha \int_{0}^{h} x^{4} dx = \frac{ \pi \rho R^{4} \cdot h^{5}}{10h^{4}}$ (Как $tg \alpha = \frac{R}{h}$)
следовательно $I = \frac{3m R^{2}}{10}$ ( подставляя $\rho = \frac{3m}{ \pi R^{2} h}$ )
