ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-06-03   
Найти момент инерции:
а) тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня $m$ и его длина $l$;
б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости пластинки через одну из ее вершин, если стороны пластинки $a$ и $b$, а ее масса $m$.


Решение:


(a) Рассмотрим полосу длины $dx$ на перпендикулярном расстоянии $x$ от оси, вокруг которой мы должны найти момент инерции стержня. Элементарная масса стержня равна

$dm = \frac{m}{l} dx$

Момент инерции этого элемента вокруг оси

$dI = dm x^{2} = \frac{m}{l} dx \cdot x^{2}$

Таким образом, момент инерции стержня в целом вокруг данной оси

$I = \int_{0}^{l} \frac{m}{l} x^{2} dx = \frac{ml^{2}}{3}$


(б) Представим себе плоскость пластинки как плоскость ху, взяв начало координат в точке пересечения ребер пластины (рис.).
очевидно $I_{x} = \int dm y^{2} = \int_{0}^{a} \left ( \frac{m}{ab} bdy \right ) y^{2} = \frac{ma^{2}}{3}$

Аналогично $I_{y} = \frac{mb^{2}}{3}$
Отсюда из теоремы о перпендикулярной оси

$I_{z} = I_{x} + I_{y} = \frac{m}{3} (a^{2} + b^{2})$

Который является искомым моментом инерции.