Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3564
2017-06-03 
Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите, радиус которой в $\eta$ раз больше радиуса Луны. При своем движении спутник испытывает слабое сопротивление со стороны космической пыли. Считая, что сила сопротивления зависит от скорости спутника по закону $F = \alpha v^{2}$, где $\alpha$ — постоянная, найти время движения спутника до падения на поверхность Луны.
Решение:
Для спутника по круговой орбите вокруг любого массивного тела существует следующее соотношение между кинетической, потенциальной и полной энергией:
$T = - E, U = 2E$ (1)
Таким образом, поскольку полная механическая энергия должна уменьшаться из-за сопротивления космической пыли, кинетическая энергия будет возрастать, а спутник будет «падающим». Мы видим, что энергия
$dT = - dE = - dA_{fr}$
Итак, $mvdv = \alpha v^{2} vdt$ or, $\frac{ \alpha dt}{m} = \frac{dv}{v^{2}}$
Из закона Ньютона на расстоянии радиуса $r$ от центра Луны.
$\frac{v^{2}}{r} = \frac{ \gamma M}{r^{2}}$ или $v = \sqrt{ \frac{ \gamma M}{r}}$
(M - масса Луны). Тогда
$v_{i} = \sqrt{ \frac{ \gamma M}{ \eta R}}, v_{f} = \sqrt{ \frac{ \gamma M}{R}}$
Где $R$ = радиус Луны. Итак
$\int_{v_{1}}^{v_{f}} \frac{dv}{v^{2}} = \frac{ \alpha}{m} \int_{0}^{ \tau} dt = \frac{ \alpha \tau}{m}$
или, $\tau = \frac{m}{ \alpha} \left ( \frac{1}{v_{i} - \frac{1}{v_{f}}} \right ) = \frac{m}{ \alpha \sqrt{ \frac{M}{ \gamma R}}} ( \sqrt{ \eta} - 1) = \frac{m}{ \alpha \sqrt{gR}} ( \sqrt{ \eta } - 1)$
Где $g$ - постоянная гравитационная Луны. Усреднение, выраженное уравнением (1) (для некруговых орбит) результат усреднения.
Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите, радиус которой в $\eta$ раз больше радиуса Луны. При своем движении спутник испытывает слабое сопротивление со стороны космической пыли. Считая, что сила сопротивления зависит от скорости спутника по закону $F = \alpha v^{2}$, где $\alpha$ — постоянная, найти время движения спутника до падения на поверхность Луны.
Решение:
Для спутника по круговой орбите вокруг любого массивного тела существует следующее соотношение между кинетической, потенциальной и полной энергией:
$T = - E, U = 2E$ (1)
Таким образом, поскольку полная механическая энергия должна уменьшаться из-за сопротивления космической пыли, кинетическая энергия будет возрастать, а спутник будет «падающим». Мы видим, что энергия
$dT = - dE = - dA_{fr}$
Итак, $mvdv = \alpha v^{2} vdt$ or, $\frac{ \alpha dt}{m} = \frac{dv}{v^{2}}$
Из закона Ньютона на расстоянии радиуса $r$ от центра Луны.
$\frac{v^{2}}{r} = \frac{ \gamma M}{r^{2}}$ или $v = \sqrt{ \frac{ \gamma M}{r}}$
(M - масса Луны). Тогда
$v_{i} = \sqrt{ \frac{ \gamma M}{ \eta R}}, v_{f} = \sqrt{ \frac{ \gamma M}{R}}$
Где $R$ = радиус Луны. Итак
$\int_{v_{1}}^{v_{f}} \frac{dv}{v^{2}} = \frac{ \alpha}{m} \int_{0}^{ \tau} dt = \frac{ \alpha \tau}{m}$
или, $\tau = \frac{m}{ \alpha} \left ( \frac{1}{v_{i} - \frac{1}{v_{f}}} \right ) = \frac{m}{ \alpha \sqrt{ \frac{M}{ \gamma R}}} ( \sqrt{ \eta} - 1) = \frac{m}{ \alpha \sqrt{gR}} ( \sqrt{ \eta } - 1)$
Где $g$ - постоянная гравитационная Луны. Усреднение, выраженное уравнением (1) (для некруговых орбит) результат усреднения.
