ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-06-03   
Спутник должен двигаться в экваториальной плоскости Земли вблизи ее поверхности по или против направления вращения Земли. Найти в системе отсчета, связанной с Землей, во сколько раз кинетическая энергия спутника во втором случае будет больше, чем в первом.


Решение:


Из хорошо известной взаимосвязи скоростей частицы в отношении неподвижной системы отсчета ($K$) вращающийся системы отсчета ($K^{ \prime}$) $\vec{v} = \vec{v}^{ \prime} + ( \vec{w} \times \vec{r})$

$v_{1}^{ \prime} = v - \left ( \frac{2 \pi}{T} \right ) R$

Таким образом, кинетическая энергия спутника в системе отсчета Земли

$T_{1}^{ \prime} = \frac{1}{2} m v_{2}^{ \prime 2} = \frac{1}{2} m \left ( v + \frac{2 \pi R}{T} \right )^{2}$ (2)

Очевидно, что когда спутник движется в противоположном направлении по отношению к вращению Земли, его скорость относительно той же системы будет

$v_{2}^{ \prime} = v + \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )R$

И кинетическая энергия

$T_{2}^{ \prime} = \frac{1}{2} mv_{2}^{ \prime 2} = \frac{1}{2} m \left ( v + \frac{2 \pi R}{T} \right )^{2}$ (2)

Из (1) и (2)

$T^{ \prime} = \frac{ \left ( v + \frac{2 \pi R}{T} \right )^{2}}{ \left ( v - \frac{2 \pi R}{T} \right )^{2}}$ (3)

Из второго закона Ньютона

$\frac{ \gamma Mm}{R^{2}} = \frac{mv^{2}}{R}$ или $v = \sqrt{ \frac{ \gamma M}{R}} = \sqrt{ gR}$ (4)

Используя (4) и (3)

$\frac{T_{2}^{ \prime}}{T_{1}^{ \prime}} = \frac{ \left ( \sqrt{gR} + \frac{2 \pi R}{T} \right )^{2}}{ \left ( \sqrt{gR} - \frac{2 \pi R}{T} \right )^{2}} = 1,27$