ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-06-03   
На какой высоте над полюсом Земли ускорение свободного падения убывает на один процент; в два раза?


Решение:


Пусть $h$ - искомая высота в первом случае, поэтому

$\frac{99}{100} g = \frac{ \gamma M}{(R+h)^{2}} = \frac{ \gamma M}{R^{2} \left ( 1 + \frac{h}{R} \right )^{2}} = \frac{g}{ \left ( 1 + \frac{h}{R} \right )^{2}}$
или $ \frac{99}{100} = \left ( 1 + \frac{h}{R} \right )^{-2}$

Из условия задачи видно, что в этом случае $h \ll R$

Таким образом, $\frac{99}{100} = \left ( 1 - \frac{2h}{R} \right )$ или $h = \frac{R}{200} = \left ( \frac{6400}{200} \right ) ки = 32 км$

В другом случае, если $h^{ \prime}$ искомая высота, тогда

$\frac{g}{2} = g \left ( 1 + \frac{h^{ \prime}}{R} \right )^{-2}$ or $\frac{1}{2} = \left ( 1 + \frac{h^{ \prime}}{R} \right )^{-2}$

Из условия задачи, в случае $h^{ \prime}$ не очень мало по сравнению с $R$. Поэтому в этом случае мы не можем использовать приближение, принятое в предыдущем случае.

Итак $\left ( 1 + \frac{h^{ \prime}}{R} \right )^{2} = 2$ и, $\frac{h^{ \prime}}{R} = \pm \sqrt{2} - 1$

Знак "-" неприемлем

$h^{ \prime} = ( \sqrt{2} -1 ) R = ( \sqrt{2} - 1) \cdot 6400 км = 2650 км$