Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3554
2017-06-03 
Найти собственную потенциальную энергию гравитационного взаимодействия вещества, образующего:
а) тонкий однородный сферический слой массы $m$ и радиуса $R$;
б) однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ (воспользоваться ответом к задаче 3551).
Решение:
(а) Так как потенциал в каждой точке сферической поверхности (оболочки) постоянный и равен $\phi = - \frac{ \gamma m}{R}$, [как в уравнении (1) решения задачи 3549]. В соответствии с уравнением
$U = \frac{1}{2} \int dm \phi = \frac{1}{2} \phi \int dm = \frac{1}{2} \left ( - \frac{ \gamma m}{R} \right ) m = - \frac{ \gamma m^{2}}{2R}$
(коэффициент $\frac{1}{2}$ необходим, иначе вклад разных элементов массы подсчитывается дважды).
(б) В этом случае потенциал внутри сферы зависит только от $r$ (см. (C) решения задачи 3551)
$\phi = - \frac{3 \gamma m}{2R} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{3R^{2}} \right )$
Здесь $dm$ - масса элементарного сферического слоя, заключенного между радиусами $r$ и $r + dr$:
$dm = (4 \pi r^{2} dr \rho ) = \left ( \frac{3m}{R^{3}} \right ) r^{2}dr$
$U = \frac{1}{2} \int dm \phi = \frac{1}{2} \int_{0}^{R} \left ( \frac{3m}{R^{3}} \right ) r^{2}dr \left \{ - \frac{3 \gamma m}{2R} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{3R^{2}} \right ) \right \}$
После интегрирования получаем $U = - \frac{3}{5} \frac{ \gamma m^{2}}{R}$
Найти собственную потенциальную энергию гравитационного взаимодействия вещества, образующего:
а) тонкий однородный сферический слой массы $m$ и радиуса $R$;
б) однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ (воспользоваться ответом к задаче 3551).
Решение:
(а) Так как потенциал в каждой точке сферической поверхности (оболочки) постоянный и равен $\phi = - \frac{ \gamma m}{R}$, [как в уравнении (1) решения задачи 3549]. В соответствии с уравнением
$U = \frac{1}{2} \int dm \phi = \frac{1}{2} \phi \int dm = \frac{1}{2} \left ( - \frac{ \gamma m}{R} \right ) m = - \frac{ \gamma m^{2}}{2R}$
(коэффициент $\frac{1}{2}$ необходим, иначе вклад разных элементов массы подсчитывается дважды).
(б) В этом случае потенциал внутри сферы зависит только от $r$ (см. (C) решения задачи 3551)
$\phi = - \frac{3 \gamma m}{2R} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{3R^{2}} \right )$
Здесь $dm$ - масса элементарного сферического слоя, заключенного между радиусами $r$ и $r + dr$:
$dm = (4 \pi r^{2} dr \rho ) = \left ( \frac{3m}{R^{3}} \right ) r^{2}dr$
$U = \frac{1}{2} \int dm \phi = \frac{1}{2} \int_{0}^{R} \left ( \frac{3m}{R^{3}} \right ) r^{2}dr \left \{ - \frac{3 \gamma m}{2R} \left ( 1 - \frac{r^{2}}{3R^{2}} \right ) \right \}$
После интегрирования получаем $U = - \frac{3}{5} \frac{ \gamma m^{2}}{R}$
