Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3553
2017-06-03 
Однородный шар имеет массу $M$ и радиус $R$. Найти давление $p$ внутри шара, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния $r$ от его центра. Оценить $p$ в центре Земли, считая, что Земля является однородным шаром.
Решение:
Разделим сплошную сферу на тонкие сферические слои и рассмотрим слой толщины $dr$, лежащий на расстоянии $r$ от центра шара. Каждый сферический слой надавливает на слои внутри него. Рассматриваемый слой притягивается к части лежащей внутри него сферы (внешняя часть не действует на слой). Следовательно, для рассматриваемого слоя
$dp 4 \pi r^{2} = dF$
Или, $dP 4 \pi r^{2} = \frac{ \gamma \left ( \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho \right ) (4 \pi r^{2} dr \rho)}{r^{2}}$
(Где $\rho$ - средняя плотность сферы) или, $dp = \frac{4}{3} \pi \gamma \rho^{2} rdr$
Таким образом, $p = \int_{r}^{R} dp = \frac{2 \pi}{3} \gamma \rho^{2} (R^{2} - r^{2})$
(При $r = R$ давление будет равным нулю)
Или, $p = \frac{3}{8} (1 - (r^{2} / R^{2}2)) \gamma M^{2} / \pi R^{4}$, Полагая $\rho = M / (4/3) \pi R^{3}$
Полагая $r = 0$, получаем давление в центре сферы, и, рассматриваем его как Землю, где средняя плотность равна $\rho = 5,5 \cdot 10^{3} кг / м^{3}$ и $R = 64 \cdot 10^{2} км$,
Получаем, $p = 1,73 \cdot 10^{11} Па$ или $1,72 \cdot 10^{6} атм$.
Однородный шар имеет массу $M$ и радиус $R$. Найти давление $p$ внутри шара, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния $r$ от его центра. Оценить $p$ в центре Земли, считая, что Земля является однородным шаром.
Решение:
Разделим сплошную сферу на тонкие сферические слои и рассмотрим слой толщины $dr$, лежащий на расстоянии $r$ от центра шара. Каждый сферический слой надавливает на слои внутри него. Рассматриваемый слой притягивается к части лежащей внутри него сферы (внешняя часть не действует на слой). Следовательно, для рассматриваемого слоя
$dp 4 \pi r^{2} = dF$
Или, $dP 4 \pi r^{2} = \frac{ \gamma \left ( \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho \right ) (4 \pi r^{2} dr \rho)}{r^{2}}$
(Где $\rho$ - средняя плотность сферы) или, $dp = \frac{4}{3} \pi \gamma \rho^{2} rdr$
Таким образом, $p = \int_{r}^{R} dp = \frac{2 \pi}{3} \gamma \rho^{2} (R^{2} - r^{2})$
(При $r = R$ давление будет равным нулю)
Или, $p = \frac{3}{8} (1 - (r^{2} / R^{2}2)) \gamma M^{2} / \pi R^{4}$, Полагая $\rho = M / (4/3) \pi R^{3}$
Полагая $r = 0$, получаем давление в центре сферы, и, рассматриваем его как Землю, где средняя плотность равна $\rho = 5,5 \cdot 10^{3} кг / м^{3}$ и $R = 64 \cdot 10^{2} км$,
Получаем, $p = 1,73 \cdot 10^{11} Па$ или $1,72 \cdot 10^{6} атм$.
