Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3551
2017-06-03 
Имеется однородный шар массы $M$ и радиуса $R$. Найти напряженность $\vec{G}$ и потенциал $\phi$ гравитационного поля этого шара как функции расстояния $r$ от его центра (при $r < R$ и $r > R$). Изобразить примерные графики зависимостей $G(r)$ и $\phi(r)$.
Решение:
В решении задачи 3548 мы получили $\phi$ и $G$ из-за однородной сферы на расстоянии $r$ от его центра вне него. Из уравнений (7) и (8) из 3548,
$\phi = - \frac{ \gamma M}{r}$ и $\vec{G} = - \frac{ \gamma M}{r^{3}} \vec{r}$ (A)
В соответствии с уравнением (1) решения 3549, потенциал из-за сферической оболочки радиуса $a$ в любой точке внутри нее становится
$\phi = \frac{ \gamma M}{a} = const$ и $G_{r} = - \frac{ \partial \phi }{ \partial r} = 0$ (B)
Для точки (скажем, P), которая лежит внутри однородной сплошной сферы, потенциал $\phi$ в этой точке может быть представлен в виде суммы.
$\phi_{in} = \phi_{1} + \phi_{2}$
Где $\phi_{1}$ - потенциал сплошной сферы с радиусом $r$, and $\phi_{2}$ - потенциал слоя радиусов $r$ и $R$. В соответствии с уравнением (A)
$\phi_{1} = - \frac{ \gamma}{r} \left ( \frac{M}{(4/3) \pi R^{3}} \frac{4}{3} \pi r^{3} \right ) = - \frac{ \gamma M}{R^{3}} r^{2}$
Потенциал $\phi_{2}$, создаваемый слоем (толстая оболочка), одинаковый во всех точках внутри него. Потенциал $\phi_{2}$ проще всего рассчитать для точки, расположенной в центре слоя, используя уравнение (В)
$\phi_{2} = - \gamma \int_{r}^{R} \frac{dM}{r} = - \frac{3}{2} \frac{ \gamma M}{R^{3}} (R^{2} - r^{2})$
где $dM = \frac{M}{(4/3) \pi R^{3}} 4 \pi r^{2} dr = \left ( \frac{3M}{R^{3}} \right ) r^{2} dr$
масса тонкого слоя между радиусами $r$ и $r + dr$.
таким образом $\phi_{in} = \phi_{1} + \phi_{2} = \left ( \frac{ \gamma M}{2R} \right ) \left ( 3 - \frac{r^{2}}{R^{2}} \right )$ (C)
Из уравнения. $G_{r} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial r}$
$G_{r} = \frac{ \gamma Mr}{ R^{3}}$
или $\vec{G} = - \frac{ \gamma M}{R^{3}} \vec{r} = - \gamma \frac{4}{3} \pi \rho \vec{r}$
(Где $\rho = \frac{M}{ \frac{4}{3} \pi R^{3}}$, плотность сферы) (D)
Графики $\phi (r)$ и $G(r)$ для однородной сферы радиуса $R$ показаны на рисунке.
Альтернативный: По теореме Гаусса, можно получить теорему Гаусса для гравитация в виде $\oint \vec{G} \cdot d \vec{S} = - 4 \pi \gamma m_{in}$. Для вычисления $\vec{G}$ в точке внутри сферы на расстоянии $r$ от ее центра, рассмотрим гауссову поверхность радиуса $r$. Тогда,
$G_{r} 4 \pi r^{2} = - 4 \pi \gamma \left ( \frac{M}{R^{3}} \right )r^{3}$ or, $G_{r} = - \frac{ \gamma M}{R^{3}} r$
Следовательно, $\vec{G} = - \frac{ \gamma M}{R^{3}} \vec{r} = - \gamma \frac{4}{3} \pi \rho \vec{r}$ (при $\rho = \frac{M}{(4/3) \pi R^{3}}$
Итак, $\phi = \int_{r}^{ \infty} G_{r} dr = \int_{r}^{R} - \frac{ \gamma M}{R^{3}} rdr + \int_{R}^{ \infty} - \frac{ \gamma M}{r^{2}} dr$
Интегрируя и суммируя, мы получаем,
$\phi = - \frac{ \gamma M}{2R} \left ( 3 - \frac{r^{2}}{R^{2}} \right )$
Из теоремы Гаусса вне ее
$G_{r} 4 \pi r^{2} = - 4 \pi \gamma M$ или $G_{r} = - \frac{ \gamma M}{r^{2}}$
таким образом $\phi(r) = \int_{r}^{ \infty} G_{r} dr = - \frac{ \gamma M}{r}$
Имеется однородный шар массы $M$ и радиуса $R$. Найти напряженность $\vec{G}$ и потенциал $\phi$ гравитационного поля этого шара как функции расстояния $r$ от его центра (при $r < R$ и $r > R$). Изобразить примерные графики зависимостей $G(r)$ и $\phi(r)$.
Решение:
В решении задачи 3548 мы получили $\phi$ и $G$ из-за однородной сферы на расстоянии $r$ от его центра вне него. Из уравнений (7) и (8) из 3548,
$\phi = - \frac{ \gamma M}{r}$ и $\vec{G} = - \frac{ \gamma M}{r^{3}} \vec{r}$ (A)
В соответствии с уравнением (1) решения 3549, потенциал из-за сферической оболочки радиуса $a$ в любой точке внутри нее становится
$\phi = \frac{ \gamma M}{a} = const$ и $G_{r} = - \frac{ \partial \phi }{ \partial r} = 0$ (B)
Для точки (скажем, P), которая лежит внутри однородной сплошной сферы, потенциал $\phi$ в этой точке может быть представлен в виде суммы.
$\phi_{in} = \phi_{1} + \phi_{2}$
Где $\phi_{1}$ - потенциал сплошной сферы с радиусом $r$, and $\phi_{2}$ - потенциал слоя радиусов $r$ и $R$. В соответствии с уравнением (A)
$\phi_{1} = - \frac{ \gamma}{r} \left ( \frac{M}{(4/3) \pi R^{3}} \frac{4}{3} \pi r^{3} \right ) = - \frac{ \gamma M}{R^{3}} r^{2}$
Потенциал $\phi_{2}$, создаваемый слоем (толстая оболочка), одинаковый во всех точках внутри него. Потенциал $\phi_{2}$ проще всего рассчитать для точки, расположенной в центре слоя, используя уравнение (В)
$\phi_{2} = - \gamma \int_{r}^{R} \frac{dM}{r} = - \frac{3}{2} \frac{ \gamma M}{R^{3}} (R^{2} - r^{2})$
где $dM = \frac{M}{(4/3) \pi R^{3}} 4 \pi r^{2} dr = \left ( \frac{3M}{R^{3}} \right ) r^{2} dr$
масса тонкого слоя между радиусами $r$ и $r + dr$.
таким образом $\phi_{in} = \phi_{1} + \phi_{2} = \left ( \frac{ \gamma M}{2R} \right ) \left ( 3 - \frac{r^{2}}{R^{2}} \right )$ (C)
Из уравнения. $G_{r} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial r}$
$G_{r} = \frac{ \gamma Mr}{ R^{3}}$
или $\vec{G} = - \frac{ \gamma M}{R^{3}} \vec{r} = - \gamma \frac{4}{3} \pi \rho \vec{r}$
(Где $\rho = \frac{M}{ \frac{4}{3} \pi R^{3}}$, плотность сферы) (D)
Графики $\phi (r)$ и $G(r)$ для однородной сферы радиуса $R$ показаны на рисунке.
Альтернативный: По теореме Гаусса, можно получить теорему Гаусса для гравитация в виде $\oint \vec{G} \cdot d \vec{S} = - 4 \pi \gamma m_{in}$. Для вычисления $\vec{G}$ в точке внутри сферы на расстоянии $r$ от ее центра, рассмотрим гауссову поверхность радиуса $r$. Тогда,
$G_{r} 4 \pi r^{2} = - 4 \pi \gamma \left ( \frac{M}{R^{3}} \right )r^{3}$ or, $G_{r} = - \frac{ \gamma M}{R^{3}} r$
Следовательно, $\vec{G} = - \frac{ \gamma M}{R^{3}} \vec{r} = - \gamma \frac{4}{3} \pi \rho \vec{r}$ (при $\rho = \frac{M}{(4/3) \pi R^{3}}$
Итак, $\phi = \int_{r}^{ \infty} G_{r} dr = \int_{r}^{R} - \frac{ \gamma M}{R^{3}} rdr + \int_{R}^{ \infty} - \frac{ \gamma M}{r^{2}} dr$
Интегрируя и суммируя, мы получаем,
$\phi = - \frac{ \gamma M}{2R} \left ( 3 - \frac{r^{2}}{R^{2}} \right )$
Из теоремы Гаусса вне ее
$G_{r} 4 \pi r^{2} = - 4 \pi \gamma M$ или $G_{r} = - \frac{ \gamma M}{r^{2}}$
таким образом $\phi(r) = \int_{r}^{ \infty} G_{r} dr = - \frac{ \gamma M}{r}$
