Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 3548
2017-06-03 
Частица массы $m$ находится вне однородного шара массы $M$ на расстоянии $r$ от его центра. Найти:
а) потенциальную энергию гравитационного взаимодействия частицы и шара;
б) силу тяготения, с которой шар действует на частицу.
Решение:
Предположим, что сфера имеет радиус, равный $a$. Мы можем представить себе, что сфера состоит из концентрических тонких сферических оболочек (слоев) с радиусами от 0 до $a$, и каждый сферический слой состоит из элементарных полос (колец). Сначала вычислим потенциал за счет элементарной полосы сферического слоя в точке расположения точечной массы $m$ (скажем, точки P) (рис.). Поскольку все точки полосы расположены на расстоянии $l$ от точки Р, поэтому,
$\partial \phi = - \frac{ \gamma \partial M}{l}$ (где масса полосы) (1)
$\partial M = \left ( \frac{dM}{4 \pi a^{2}} \right ) (2 \pi a \sin \theta) (a d \theta) = \left ( \frac{dM}{2} \right ) \sin \theta d \theta$ (2)
И $l^{2} = a^{2} + r^{2} - 2 ar \cos \theta$ (3)
Дифференцируя уравнение (3), получим
$ldl = ar \sin \theta d \theta$ (4)
Следовательно, используя приведенные выше уравнения
$ \partial \phi = - \left ( \frac{ \gamma dM}{2ar} \right ) dl$ (5)
Интегрируя это уравнение по всему сферическому слою
$d \phi = \int \partial \phi = - \frac{ \gamma dM}{2ar} \int_{r-a}^{ r + a}$
Итак $d \phi = - \frac{ \gamma dM}{r}$ (6)
Уравнение (6) показывает, что потенциал, создаваемый тонким однородным сферическим слоем вне слоя, таков, что вся масса слоя была сосредоточена в его центре; Следовательно, потенциал, связанный с сферой в точке P;
$\phi = \int d \phi = - \frac{ \gamma }{r} \int dM = - \frac{ \gamma M}{r}$ (7)
Это выражение аналогично выражению (6)
Следовательно, искомая потенциальная энергия гравитационного взаимодействия частицы $m$ и сферы,
$U = m \phi = - \frac{ \gamma Mm}{r}$
(б) Используя уравнение, $G_{r} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial r}$
$G_{r} = - \frac{ \gamma M}{r^{2}}$ (Используя уравнение 7)
Итак $\vec{G} = - \frac{ \gamma M}{r^{3}} \vec{r}$ и $\vec{F} = m \vec{G} = - \frac{ \gamma mM}{ r^{3}} \vec{r}$ (8)
Частица массы $m$ находится вне однородного шара массы $M$ на расстоянии $r$ от его центра. Найти:
а) потенциальную энергию гравитационного взаимодействия частицы и шара;
б) силу тяготения, с которой шар действует на частицу.
Решение:
Предположим, что сфера имеет радиус, равный $a$. Мы можем представить себе, что сфера состоит из концентрических тонких сферических оболочек (слоев) с радиусами от 0 до $a$, и каждый сферический слой состоит из элементарных полос (колец). Сначала вычислим потенциал за счет элементарной полосы сферического слоя в точке расположения точечной массы $m$ (скажем, точки P) (рис.). Поскольку все точки полосы расположены на расстоянии $l$ от точки Р, поэтому,
$\partial \phi = - \frac{ \gamma \partial M}{l}$ (где масса полосы) (1)
$\partial M = \left ( \frac{dM}{4 \pi a^{2}} \right ) (2 \pi a \sin \theta) (a d \theta) = \left ( \frac{dM}{2} \right ) \sin \theta d \theta$ (2)
И $l^{2} = a^{2} + r^{2} - 2 ar \cos \theta$ (3)
Дифференцируя уравнение (3), получим
$ldl = ar \sin \theta d \theta$ (4)
Следовательно, используя приведенные выше уравнения
$ \partial \phi = - \left ( \frac{ \gamma dM}{2ar} \right ) dl$ (5)
Интегрируя это уравнение по всему сферическому слою
$d \phi = \int \partial \phi = - \frac{ \gamma dM}{2ar} \int_{r-a}^{ r + a}$
Итак $d \phi = - \frac{ \gamma dM}{r}$ (6)
Уравнение (6) показывает, что потенциал, создаваемый тонким однородным сферическим слоем вне слоя, таков, что вся масса слоя была сосредоточена в его центре; Следовательно, потенциал, связанный с сферой в точке P;
$\phi = \int d \phi = - \frac{ \gamma }{r} \int dM = - \frac{ \gamma M}{r}$ (7)
Это выражение аналогично выражению (6)
Следовательно, искомая потенциальная энергия гравитационного взаимодействия частицы $m$ и сферы,
$U = m \phi = - \frac{ \gamma Mm}{r}$
(б) Используя уравнение, $G_{r} = - \frac{ \partial \phi}{ \partial r}$
$G_{r} = - \frac{ \gamma M}{r^{2}}$ (Используя уравнение 7)
Итак $\vec{G} = - \frac{ \gamma M}{r^{3}} \vec{r}$ и $\vec{F} = m \vec{G} = - \frac{ \gamma mM}{ r^{3}} \vec{r}$ (8)
