ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-06-03   
Космическое тело А движется к Солнцу, имея вдали от него скорость $v_{0}$ и прицельный параметр $l$ — плечо вектора $\vec{v}_{0}$ относительно центра Солнца (рис.). Найти наименьшее расстояние, на которое это тело приблизится к Солнцу.



Решение:


На минимальном расстоянии от Солнца скорость космического тела перпендикулярна вектору положения относительно Солнца. Если искомое минимальное расстояние $r_{min}$ то из закона сохранения момента количества движения вокруг Солнца (С).

$mv_{0}l = mvr_{min}$ или, $v = \frac{v_{0}l}{r_{min}}$ (1)

Из закона сохранения механической энергии системы (солнце + космическое тело),

$\frac{1}{2} mv_{0}^{2} = - \frac{ \gamma m_{s}m}{r_{min}} + \frac{1}{2} mv^{2}$

Итак, $\frac{v_{0}^{2}}{2} = - \frac{ \gamma m_{s}}{r_{min}} + \frac{v_{0}^{2}}{2r_{min}^{2}}$ (используя 1)

или, $v_{0}^{2}r_{min}^{2} + 2 \gamma m_{s} r_{min} - v_{0}^{2}l^{2} = 0$
$r_{min} = \frac{ - 2 \gamma m_{s} \pm \sqrt{4 \gamma^{2} m^{2} + 4v_{0}^{2} v_{0}^{2} l^{2}} }{2v_{0}^{2}} = \frac{- \gamma m_{s} \pm \sqrt{ \gamma^{2} m_{s}^{2} + v_{0}^{4} l^{2}}}{v_{0}^{2}}$

Следовательно, положительный корень

$r_{min} = ( \gamma m_{s} / v_{0}^{2}) ( \sqrt{1 + (lv_{0}^{2} / \gamma m_{s})^{2}} - 1) $